1 Operare con numeri e lettere esempio O Verifica quali, tra i numeri 0, 1, 2, 2, 3, sono zeri del polinomio: 3 11 p(x) = x3 __ x2 ___ x + 3 2 2 Effettuando i calcoli abbiamo: 3 2 11 3 Q p(0) = 0 __ 0 ___ 0 + 3 = 3 0 non è zero del polinomio 2 2 3 2 11 3 Q p(1) = 1 __ 1 ___ 1 + 3 = 3 1 non è zero del polinomio 2 2 11 3 3 2 Q p( 2) = ( 2) __ ( 2) ___ ( 2) + 3 = 0 2 è zero del polinomio 2 2 11 3 3 2 Q p(2) = 2 __ 2 ___ 2 + 3 = 6 2 non è zero del polinomio 2 2 11 3 3 2 Q p(3) = 3 __ 3 ___ 3 + 3 = 0 3 è zero del polinomio 2 2 Tra i numeri assegnati sono zeri del polinomio i numeri 2 e 3. PROVA TU P D il polinomio: Dato p (x ) = 2x 3 3x 2 + 8 determina i valori numerici p (0), p ( 1), p (4). Come avrai notato, un polinomio può avere più zeri. Ci sono alcuni casi in cui, osservando i coefficienti di un polinomio p(x), possiamo ricavare facilmente alcuni suoi zeri. Q Se il termine di grado 0 (termine noto) è nullo (e quindi non compare), allora il numero 0 è uno zero del polinomio. Per esempio, con p(x) = 2x3 5x2 + 4x abbiamo: p(0) = 0 Q Se la somma dei coefficienti del polinomio è 0, allora il numero 1 è uno zero del polinomio. Per esempio, con p(x) = 7x4 3x2 + x 5 abbiamo: 7 3+1 5=0 p(1) = 7 1 3 1 + 1 1 5 = 0 Q la somma dei coefficienti è nulla Se la somma dei coefficienti dei termini di grado dispari è uguale alla somma dei coefficienti dei termini di grado pari, allora il numero 1 è uno zero del polinomio. Per esempio, con p(x) = 3x3 2x2 + x + 6 abbiamo: 3+1=4 somma dei coefficienti dei termini di grado dispari 2 + 6 = 4 somma dei coefficienti dei termini di grado pari p( 1) = 3 ( 1)3 2 ( 1)2 + ( 1) + 6 = 3 2 1 + 6 = 0 FISSA I CONCETTI Zeri di un polinomio: sono i numeri che, sostituiti alla variabile x, rendono il polinomio p(x) uguale a 0. Divisibilità di un polinomio: il teorema di Ruffini Vediamo ora un criterio di divisibilità per i polinomi che permette di scomporli in fattori. Analizziamo prima due esempi. esempi O Considera il polinomio p(x) = x3 5x2 + 8x 4. Osserviamo che il numero 1 è uno zero del polinomio perché la somma dei suoi coefficienti è 0: p(1) = 13 5 12 + 8 1 4 = 0 25