5 Funzioni ed equazioni polinomiali Per ricondurci a una equazione polinomiale dobbiamo elevare al quadrato sia a sinistra sia a destra del predicato e otteniamo: 9 = x + 5 x = 4 accettabile perché 4 5 Possiamo_ verificare_che x = 4 è soluzione sostituendo il valore nell equazione, infatti: 4 + 5 = 9 = 3. Risolviamo ora_ l equazione: _ x 3 = 2x 2 Il suo insieme di definizione, come puoi verificare, è: {x R x 3}. Elevando al quadrato, otteniamo questa equazione di primo grado: x 3 = 2x 2 La sua soluzione è x = 1, ma tale valore non appartiene all insieme di definizione. L equazione irrazionale data, quindi, non ha soluzioni in R. Se sostituiamo all incognita il valore 1, otteniamo, infatti: _ _ ___ 4 = 4 e 4 non è definita in R esempio O Risolvi in R la seguente equazione irrazionale. _ _ 3 x 2 = x + 1 L equazione è definita per: 0 x 2 x 2 0 {x + 1 0 {x 1 x 2 1 2 0 0 2 Elevando al quadrato sia a sinistra sia a destra del predicato: 9(x 2) = x + 1 19 otteniamo una equazione di primo grado con soluzione, x = ___, che appartie8 ne all insieme di definizione dell equazione irrazionale data. 19 Possiamo verificare che x = ___ è la soluzione: sostituendo infatti il valore di 8 x nell equazione, otteniamo una proposizione vera: _ 19 3 _ 2= 8 _ _ 19 _ +1 8 3 3 _= 19 L equazione ha soluzione x = ___ 8 ___ _ 27 _ 8 8 27 ___ = _ 27 8 _ 8 _ Consideriamo ora un caso diverso: x + 1 = 2. L equazione è definita per x 1 ed elevando al quadrato sia a sinistra sia a destra del predicato otteniamo: x + 1 = 4 x = 3 accettabile_ perché 3 _ 1. Tuttavia, sostituendo il valore _nell equazione data, otteniamo 3 + 1 = 4 = 2. Come ricorderai, il simbolo x indica soltanto il valore positivo (o eventualmente nullo) della radice, mentre a destra del predicato c è un numero negativo. Quindi, il valore x = 3 non verifica l uguaglianza e non è soluzione dell equazione data. L equazione non ha perciò soluzioni. Dagli esempi precedenti vediamo che nel risolvere una equazione irrazionale è possibile trovare, con il procedimento algebrico, valori che sembrerebbero essere soluzioni, ma che, sostituiti all incognita, non danno una proposizione vera. bene quindi verificare che ogni valore trovato costituisca un effettiva soluzione. APPROFONDIMENTO A El Elevando al quadrato sia a sinistra sia a destra del predicato di una equazione è garantita l equivalenza solo se entrambe le parti hanno lo stesso segno. Oltre all insieme di definizione dell equazione dobbiamo porre la condizione di concordanza del segno. 267