RELAZIONI E FUNZIONI L insieme di definizione Poiché una radice di indice pari non ha significato nell insieme R se il radicando è negativo, prima di risolvere una equazione irrazionale occorre stabilire il sottoinsieme di R in cui essa è definita: il suo insieme di definizione. Dobbiamo perciò distinguere due casi: Q se l indice è dispari, allora l equazione è definita indipendentemente dal segno del radicando; Q se l indice è pari allora l equazione è definita solo in corrispondenza di quei valori dell incognita che rendono non negativa l espressione presente come radicando. esempio O Determina l insieme di definizione in R delle seguenti equazioni irrazionali. _ a. 3 = x + 5 L equazione è irrazionale e poiché l indice della radice è pari, allora è definita solo in corrispondenza di quei valori dell incognita che rendono non negativo il radicando x + 5. x + 5 0 x 5 e, quindi, l insieme di definizione è: {x R x 5}. _ _ b. x 3 = 2 2x Nell equazione sono presenti due radici quadrate e quindi è definita se entrambi i radicandi sono non negativi. Quindi dobbiamo risolvere il sistema: x 3 0 {2 2x 0 x 3 0 {x 1 0 3 1 0 questo sistema ha come soluzione l insieme vuoto. L equazione non è definita in R. _____ __ _____ _____ 3 5 c. x + 2 = x L equazione è sempre definita in R: le espressioni in cui compare x sono tutte sotto radici di indice dispari. 3 4 d. x 1 x 2 = 0 solo la prima radice, di indice pari, a porre delle limitazioni: deve essere x 1 0. L insieme di definizione è, quindi: {x R x 1}. Poiché vi sono limitazioni nell insieme di definizione di una equazione irrazionale, può capitare che, nel risolverla, si trovino dei valori che non sono però accettabili come soluzioni proprio perché non appartengono al suo insieme di definizione. Seguiamo alcuni esempi, considerando essenzialmente equazioni irrazionali in cui compaiono radici quadrate: sono queste, infatti, quelle in cui ci imbattiamo più spesso. _ Risolviamo l equazione dell esempio a. 3 = x + 5 che ha come insieme di definizione x 5. 266