5 Funzioni ed equazioni polinomiali Le equazioni biquadratiche Un caso particolare, in cui una opportuna sostituzione di variabile porta a risolvere una equazione di secondo grado, è quello delle equazioni biquadratiche. DEFINIZIONE KEYWORDS K e equazione biquadrica / biquadratic equation L equazione biquadratica è una equazione del tipo ax2n + bxn + c = 0, formata da un termine noto, un termine con x elevato a qualche esponente naturale, xn, e un termine con x elevato all esponente doppio, x2n. Per risolverla precediamo nel seguente modo: 1. effettuiamo la sostituzione t = xn in modo da ricondurla a una equazione di secondo grado nella variabile t; 2. risolviamo l equazione di secondo grado at2 + bt + c = 0, da cui troviamo, se esistono, i due valori t1 e t2; 3. risolviamo le equazioni binomie xn = t1 e xn = t2. esempio O Risolvi in R l equazione x8 3x4 + 2 = 0 una equazione biquadratica infatti riconosciamo il termine noto (+2), il termine 3x4 di grado n = 4, e il termine x8 di grado 2n = 8. Dopo aver effettuato la sostituzione t = x4 abbiamo t2 3t + 2 = 0 da cui otteniamo: t1 = 1 e t2 = 2 Risolviamo le equazioni binomie: x4 = 1 x1 = 1 __e x2 = 1; __ 4 4 x4 = 2 x3 = 2 e x4 = 2 L equazione ha, quindi, quattro soluzioni reali. 4 Le equazioni irrazionali PROVA TU P Ri Risolvi in R le seguenti equazioni biquadratiche: a. x 6 7x 3 8 = 0 b. 4x 8 7x 4 2 = 0 FISSA I CONCETTI Q Q Equazione binomia: xn = a, con n N0 e a R Equazione biquadratica: ax 2n + bx n + c = 0. Posto t = x n si ottiene l equazione di secondo grado : at 2 + bt + c = 0 con soluzioni t1 e t2. Da queste si ha x n = t1 e x n = t2. Esercizi da pag. 292 L incognita sotto il segno di radice Finora hai studiato le equazioni razionali in una incognita: sono le equazioni f(x) polinomiali p(x) = 0 e le equazioni frazionarie del tipo ____ = 0, con f(x) e g(x) g(x) R(x). Consideriamo ora equazioni in cui l incognita compare anche sotto il segno di radice. DEFINIZIONE Una equazione in cui l incognita compare sotto il segno di radice è detta equazione irrazionale. _ _ ___ KEYWORDS K e equazione irrazionale / irrational equation Le equazioni x 1__= 0 e 3 x 1 = 3x sono, per esempio, due equazioni irrazionali, mentre 3 x2 1 = 0 non lo è, in quanto solo il coefficiente compare sotto radice (è irrazionale) e non l incognita. Come per altri tipi di equazioni, anche per risolvere una equazione irrazionale non esistono procedimenti validi in generale, ma cercheremo di ricondurre l equazione alla risoluzione di una equazione polinomiale a essa equivalente. 265