RELAZIONI E FUNZIONI esempio O Risolvi in R l equazione 4x2 + 14 = (2x2 3)2 PROVA TU P Ri Risolvi in R le seguenti equazioni con opportune sostituzioni. a. 6(2x 1)2 13(2x 1) + 5 = 0 b. 2(4x 1)2 3(4x 1) 5 = 0 Riscriviamo l equazione in questo modo: (2x2 3)2 + 4x2 14 = 0 (2x2 3)2 + 4x2 6 8 = 0 (2x2 3)2 + 2(2x2 3) 8 = 0 Effettuiamo la sostituzione t = 2x2 3 ottenendo t2 + 2t 8 = 0 da cui ricaviamo: t1 = 4 e t2 = 2 1 Quindi: 2x2 3 = 4 x2 = __ nessuna soluzione reale __ __ 2 5_ 5_ 5 2 2 _ _ 2x 3 = 2 x = x1 = e x = __ 2 2 2 2 L equazione ha in R due soluzioni reali. Le equazioni binomie KEYWORDS K e equazione binomia / binomial equation DEFINIZIONE Si chiama equazione binomia una equazione che può essere ricondotta alla forma xn a = 0, da cui xn = a, con n N0 e a R. L insieme delle soluzioni di una equazione di questo tipo è l insieme formato dalle radici di indice n di a, se esistono in R. Nell insieme R, possiamo distinguere i seguenti casi: a. se n è pari, l equazione: Q non ha soluzioni, se a 0; Q le sue soluzioni coincidono nel solo valore x = 0, se a = 0; __ n b. se n è dispari, l equazione ha sempre una soluzione reale x = a, che ha lo stesso segno di a. Se, in particolare, a = 0 allora x = 0. Se a = 0, l equazione è xn = 0 e ha n soluzioni reali coincidenti nel valore x = 0, indipendentemente dal fatto che n sia pari o dispari, quindi ha una soluzione x = 0 di molteplicità n. esempi O Risolvi in R le seguenti equazioni binomie. a. x4 + 1 = 0 x4 = 1 non ha soluzioni b. x4 1 = 0 x4 = 1 ha due soluzioni x1 = 1 e x2 = 1 c. x3 + 1 = 0 x3 = 1 ha la sola soluzione x = 1 d. x3 1 = 0 x3 = 1 ha la sola soluzione x = 1 O Risolvi in R l equazione: 5 x +4 _ x 4 _ = PROVA TU P Ri Risolvi in R le seguenti equazioni binomie: a. 5x 5 10 = 0 b. 3x 4 18 = 0 c. 6x 6 + 25 = 0 264 4 x L equazione è frazionaria e quindi deve essere x 0. In tali condizioni, moltiplicando per 4x entrambe le parti, la riscriviamo equivalentemente: x6 + 4x = 4x 16 x6 = 16 Questa è una equazione binomia con indice pari e poiché a = 16 < 0 nessuna soluzione reale.