5 Funzioni ed equazioni polinomiali Quindi: x5 x4 + x3 x2 + x 1 = (x4 + x2 + 1)(x 1) L equazione può essere così riscritta: (x4 + x2 + 1)(x 1) = 0 Per la legge dell annullamento del prodotto vale almeno una delle seguenti: x 1=0 x=1 4 x + x2 + 1 = 0 non ha soluzioni reali perché è una somma di termini positivi che, come tale, non può mai essere 0. L equazione ha una sola soluzione in R: x = 1. b. Uno zero per il polinomio b(x) = 6x3 17x2 + 11x 2 è 2: b(2) = 48 68 + 22 2 = 0 6 2 6 17 +11 2 +12 10 +2 5 +1 b(x) è divisibile per x 2. 0 Eseguendo la divisione otteniamo: 6x3 17x2 + 11x 2 = (6x2 5x + 1)(x 2) L equazione può essere, quindi, così riscritta: (6x2 5x + 1)(x 2) = 0 Per la legge di annullamento del prodotto vale almeno una delle seguenti x 2=0 x=2 1 1 6x2 5x + 1 = 0 x1 = __ e x2 = __ 3 2 1 1 L equazione ha tre soluzioni: x1 = __, x2 = __ e x3 = 2. 3 2 PROVA TU P Ri Risolvi in R le seguenti equazioni: a. x 3 3x 2 + x 3 = 0 b. 2x 3 + 3x 2 4x 6 = 0 FISSA I CONCETTI Se p(x) = a(x) b(x) c(x) allora p(x) = 0 a(x) = 0 o b(x) = 0 o c(x) = 0 per la legge di annullamento del prodotto. Equazioni polinomiali in cui è possibile fare sostituzioni Consideriamo l equazione (x2 + x)2 6(x2 + x) + 8 = 0. Se effettuassimo le moltiplicazioni per scrivere senza parentesi l espressione a sinistra del predicato, otterremmo un polinomio di quarto grado: non è detto che saremmo in grado di trovarne gli zeri. Ma, se prima di precipitarci a fare calcoli, osserviamo meglio l equazione, possiamo notare che essa ha la stessa struttura di una equazione di secondo grado. Infatti, se sostituiamo l espressione (x2 + x) con una nuova variabile t, otteniamo una equazione di secondo grado nella nuova incognita t: t2 6t + 8 = 0 Le due soluzioni di questa equazione sono: t1 = 2 e t2 = 4. Ricordando la sostituzione fatta (t = x2 + x), abbiamo: x2 + x = 2 x2 + x 2 = 0 x1 = 2 e x2 = 1 _ 2 2 x +x=4 x +x 4=0 _ 1 + 17 1 17 x 3 = ____________ e x 4 = ____________ 2 2 263