RELAZIONI E FUNZIONI O Risolvi in R l equazione 2x4 3x3 2x2 + 3x = 0 Mettiamo innanzitutto in evidenza x: x(2x3 3x2 2x + 3) = 0 Scomponiamo il polinomio dentro parentesi, mettendo in evidenza per parti: x(2x(x2 1) 3(x2 1)) = 0 x(2x 3)(x2 1) = 0 Applicando la legge di annullamento del prodotto otteniamo: x=0 3 2x 3 = 0 x = __ 2 x2 1 = 0 x1 = 1, x2 = 1 L equazione ha in R quattro soluzioni: 3 x1 = 1; x2 = 0; x3 = 1; x4 = __ 2 Tra i metodi di scomposizione di un polinomio, possiamo utilizzare anche il teorema di Ruffini come nel seguente esempio. Risolviamo l equazione 2x3 x2 5x 2 = 0. 2 1 2 1 5 2 2 +3 +2 3 2 0 In questo caso, sostituendo 1 alla x risulta p( 1) = 0 e quindi, per il teorema di Ruffini, il polinomio è divisibile per x + 1. Dividendo (2x3 x2 5x 2) per (x + 1) otteniamo 2x2 3x 2 (vedi schema a lato). Quindi: 2x3 x2 5x 2 = (x + 1)(2x2 3x 2) L equazione può essere così riscritta: (x + 1)(2x2 3x 2) = 0 Per la legge di annullamento del prodotto abbiamo: x + 1 = 0 o 2x2 3x 2 = 0 x + 1 = 0 x = 1 1 2x2 3x 2 = 0 x1 = __ e x2 = 2 2 3 2 L equazione 2x x 5x 2 = 0 ha in R tre soluzioni: 1 x1 = 1; x2 = __; x3 = 2 2 esempio O Risolvi in R le equazioni: a. x5 x4 + x3 x2 + x 1 = 0 b. 6x3 17x2 + 11x 2 = 0 a. Uno zero per il polinomio a(x) = x5 x4 + x3 x2 + x 1 è 1 poiché a(1) = 1 1 + 1 1 + 1 1 = 0 Il polinomio è quindi divisibile per x 1 ed eseguendo la divisione 1 1 1 1 +1 1 +1 1 +1 0 +1 0 +1 0 +1 0 +1 0 otteniamo come quoziente x4 + x2 + 1. 262