5 Funzioni ed equazioni polinomiali insieme di definizione coincide con il dominio) e cercando i punti di intersezione tra il suo grafico e l asse delle ascisse. Questi sono ottenuti risolvendo il sistema: y = p(x) {y = 0 Come già detto, risolvere in R una equazione polinomiale p(x) = 0 vuol dire, dal punto di vista algebrico, trovare gli zeri del polinomio p(x); dal punto di vista grafico, vuol dire trovare le ascisse dei punti di intersezione del grafico della funzione y = p(x) con l asse x. Possiamo indicare in tre modi equivalenti gli stessi oggetti a seconda della prospettiva di osservazione: Q soluzioni di p(x) = 0 dal punto di vista delle equazioni; Q zeri di p(x) dal punto di vista dei polinomi; Q zeri di y = p(x) dal punto di vista delle funzioni. FISSA I CONCETTI Q Q Teorema fondamentale dell algebra in R. Una equazione polinomiale di grado n ha nell insieme R al più n soluzioni, ognuna considerata con la propria molteplicità. Le soluzioni di una equazione polinomiale p (x ) = 0 sono soluzioni del sistema: y = p (x ) {y = 0 Sono gli zeri del polinomio p (x ). I metodi risolutivi di una equazione polinomiale Scomposizione in fattori Per risolvere equazioni polinomiali di grado superiore al secondo possiamo ricorrere alle tecniche di scomposizione in fattori di un polinomio cercando di riscriverlo come prodotto di fattori. Supponiamo, infatti, di poter riscrivere l equazione: p(x) = 0 nella forma: a(x) b(x) c(x) = 0 dove a(x), b(x), c(x) sono anch essi polinomi a coefficienti reali, di grado certamente minore di quello di p(x). Sappiamo che nell insieme R(x) vale la seguente: LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO Il prodotto di due o più polinomi è 0 se e solo se lo è almeno uno di essi. Allora p(x) = 0 se e solo se è vera almeno una delle seguenti condizioni: a(x) = 0 o b(x) = 0 o c(x) = 0 Quindi, se riusciamo a scomporre il polinomio p(x) nel prodotto a(x) b(x) c(x), possiamo trovare le soluzioni dell equazione p(x) = 0 risolvendo le tre equazioni di grado minore a(x) = 0, b(x) = 0, c(x) = 0. ATTENZIONE! A L legge di annullamento del La prodotto è, in un contesto diverso, la stessa che hai già incontrato nell insieme R dei numeri reali: il prodotto di due numeri reali è 0 se e solo se lo è almeno uno di essi. Q Dal momento che sappiamo risolvere solo equazioni di primo e di secondo grado, è opportuno scomporre p (x ) in fattori di primo o di secondo grado. Q esempi O Risolvi in R l equazione x4 16 = 0 Scomponiamo il polinomio di quarto grado nel prodotto di due polinomi di secondo grado: (x2 + 4)(x2 4) = 0 Applichiamo la legge di annullamento del prodotto e risolviamo le due equazioni: x2 + 4 = 0 non ha soluzioni reali x2 4 = 0 x1 = 2, x2 = 2 L equazione ha in R due soluzioni: x1 = 2 e x2 = 2. 261