RELAZIONI E FUNZIONI Sappiamo che: Q una equazione (determinata) di primo grado ha in R sempre una soluzione; Q una equazione di secondo grado può avere in R due soluzioni distinte oppure due soluzioni coincidenti in un solo valore oppure nessuna soluzione. KEYWORDS K m molteplicità di una soluzione / multiplicity of a solution Anche per le equazioni di grado superiore può capitare che due o più soluzioni coincidano in un solo valore: in tal caso consideriamo questo valore come una soluzione «doppia o «tripla o, nel caso più generale, «di molteplicità n . Ciò, nel calcolo del numero delle soluzioni dell equazione, equivale a dire «due, tre, ..., n soluzioni coincidenti . Con la dizione molteplicità di una soluzione intendiamo, quindi, il numero di soluzioni che coincidono in essa. Quanto osservato nel caso di equazioni di primo o di secondo grado ha validità generale: è il teorema fondamentale dell algebra nell insieme R. APPROFONDIMENTO A P Possiamo definire un insieme numerico più ampio di R in cui abbiano significato anche le radici quadrate di numeri negativi. In tale insieme, detto insieme dei numeri complessi, una equazione (determinata) di secondo grado a coefficienti reali ha sempre due soluzioni (distinte o coincidenti). La proprietà enunciata dal teorema può essere generalizzata allora nel seguente modo: una equazione polinomiale di grado n, a coefficienti reali, ha, nell insieme dei numeri complessi, sempre n soluzioni (alcune delle quali possono essere tra loro coincidenti). TEOREMA (fondamentale dell algebra in R) Una equazione polinomiale di grado n ha nell insieme R al più n soluzioni, ognuna considerata con la propria molteplicità. Il numero complessivo di soluzioni reali, ognuna delle quali considerata con la propria molteplicità, non può superare n. esempio O Quante soluzioni hanno in R le seguenti equazioni? a. x2 + 1 = 0 b. x2 6x + 9 = 0 c. x3 + 1 = 0 d. x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0 a. Può essere così riscritta: x2 = 1 Non ha alcuna soluzione reale. b. Può essere così riscritta: (x 3)2 = 0 L equazione ha come soluzione x = 3; si tratta di una soluzione di molteplicità 2, cioè di due soluzioni coincidenti, come è evidente se riscriviamo l equazione polinomiale dopo averla scomposta: (x 3)(x 3) = 0 c. Può essere così riscritta: x3 = 1 L equazione ha una soluzione reale: x = 1. d. Può essere così riscritta: (x + 1)3 = 0 anche possibile riscriverla come prodotto (x + 1)(x + 1)(x + 1) = 0 L equazione ha come soluzione x = 1, che è una soluzione di molteplicità 3 perché in essa coincidono 3 soluzioni. Le soluzioni di una equazione polinomiale possono essere cercate graficamente considerando la funzione polinomiale y = p(x) che è sempre definita in R (il suo 260