RELAZIONI E FUNZIONI La ricerca delle soluzioni Possiamo organizzare le osservazioni precedenti e riassumere i vari casi. Indichiamo con p(x) un polinomio nella variabile x e consideriamo le seguenti equazioni irrazionali in cui consideriamo solo radici quadrate: _ I. p(x) = 0 essa viene ricondotta all equazione razionale p(x) = 0; _ II. p(x) = a, con a 0: il suo insieme di definizione è p(x) 0; per trovare le soluzioni eleviamo al quadrato e risolviamo l equazione p(x) = b2; _ _ IV. p(x) = q(x), dove q(x) indica un altro polinomio in x: otteniamo l insieme di definizione risolvendo il sistema di disequazioni: p(x) 0 {q(x) 0 Poiché si tratta di una uguaglianza di due termini non negativi, possiamo elevare al quadrato e risolvere l equazione p(x) = q(x); _ V. p(x) = q(x): per_ trovare l insieme di definizione dobbiamo porre p(x) 0; inoltre, poiché p(x) è una espressione non negativa, l equazione ha soluzioni se e solo se anche q(x) 0, per la concordanza dei segni. Le sue soluzioni appartengono quindi all insieme individuato dal sistema: p(x) 0 insieme di definizione {q(x) 0 {concordanza dei segni Con la condizione q(x) 0 ci siamo riportati all uguaglianza di due termini non negativi e possiamo così elevare al quadrato, ottenendo l equazione p(x) = (q(x))2. Le considerazioni viste sopra si estendono anche al caso in cui sotto radice compaia, invece di un polinomio, una espressione frazionaria. esempio O Risolvi in R le seguenti equazioni irrazionali. _ a. x2 + 9 = x + 9 Poiché il termine sotto radice quadrata non è mai negativo, l equazione è sempre definita in R. Ha soluzioni solo se x + 9 0, cioè x 9. Elevando al quadrato, otteniamo: x2 + 9 = x2 + 18x + 81 18x = 72 x = 4 un valore appartenente all insieme di definizione dell equazione e che rispetta la concordanza dei segni ( 4 > 9), è la sua soluzione. _ x_____________ +1 b. _______________ = x 5x 1 Stabiliamo innanzitutto qual è l insieme di definizione: Q deve essere 5x 1 0 perché l espressione 5x 1 compare sotto una radice quadrata; _ Q deve però anche essere 5x 1 0 perché l espressione 5x 1 è a denominatore; Q deve essere inoltre x 0, perché x compare sotto una radice quadrata (termine a destra dell uguale); 268