5 Funzioni ed equazioni polinomiali Esaminiamo le espressioni in valore assoluto e rappresentiamo (in colore) sulla retta gli intervalli in cui i singoli argomenti del valore assoluto sono maggiori o uguali a 0: | x | = {x x se x 0 se x < 0 0 |x 2| = {x 2 se x 2 x + 2 se x < 2 0 2 Distinguiamo i casi possibili: Q se x < 0, entrambi gli argomenti del valore assoluto sono negativi, l equazione diventa: x + 1 = x + 2 che è una equazione impossibile; Q se 0 x < 2, il primo argomento è non negativo, mentre il secondo è negativo, 1 l equazione diventa: x + 1 = x + 2 da cui 2x = 1 e, quindi, x = __, soluzione 2 accettabile; Q se x 2, entrambi gli argomenti del valore assoluto sono positivi o nulli e l equazione diventa: x + 1 = x 2, che è una equazione impossibile. 1 L equazione ammette, quindi, come unica soluzione x = __. 2 esempio O Risolvi la seguente equazione: |2x 1| = |x 1| Abbiamo: 2x |2x 1| = 1 2x + 1 | x 1 | = {x 1 x + 1 1 se x _ 2 1 se x < _ 2 se x 1 se x < 1 Distinguiamo i seguenti casi: 1 Q se x < __, l equazione diventa: 2 2x + 1 = x + 1 x = 0 Q Q 1 2 0 0 1 1 soluzione accettabile, essendo 0 < __ 2 1 se __ x < 1, l equazione diventa: 2 2 2 soluzione accettabile, poiché __ appar2x 1 = x + 1 x = __ 3 3 tiene all intervallo considerato se x 1, l equazione diventa: 2x 1 = x 1 x = 0 soluzione non accettabile, perché 0 < 1 2 Le soluzioni dell equazione sono x1 = 0 e x2 = __. 3 Può capitare, come nell esempio, che una soluzione sia accettabile in un caso e non accettabile in un altro. Ciò non è una contraddizione; infatti, la parola accettabile significa soltanto che la soluzione appartiene all intervallo del caso considerato. Quindi, una soluzione può non essere accettabile in un caso, ma essere accettabile in un altro ed essere, quindi, una soluzione dell equazione. 255