ALGEBRA 65 Determina un numero il cui doppio, sottratto ad a, 5 _a_ dà come risultato __a. [x = 3 ] 3 66 In un trapezio isoscele la somma delle basi è 14k e il suo perimetro è 37k. Determina la misura del lato obliquo. 23 ___ k [2 ] Le equazioni letterali di secondo grado Risolvi in R le seguenti equazioni a coefficienti letterali. esercizio svolto (a + 1)x2 (5a + 1)x + 4a = 0 Osserviamo che l equazione è scritta in forma normale ed è del tipo Ax2+ Bx + C = 0 con A = a + 1, B = (5a + 1), C = 4a Il coefficiente del termine di secondo grado dipende dal parametro, pertanto osserviamo che se a + 1 = 0, cioè se a = 1, l equazione si abbassa di grado e diventa 4x 4 = 0 da cui otteniamo la soluzione x = 1. Se a + 1 0, cioè se a 1, l equazione è completa di secondo grado e quindi calcoliamo il discriminante: = B2 4AC = ( (5a + 1))2 4(a + 1)(4a) = 25a2 + 1 + 10a 16a2 16a = 9a2 6a + 1 = (3a 1)2 Osserviamo che 0 per ogni a R. Possiamo, quindi, calcolare le soluzioni dell equazione: 5a + 1 (3a 1) x = ________________________ 2(a + 1) 1 _ _ Q se a = = 0 x1 = x2 = 1 3 2(a 1) a 1 5a + 1 3a 1 2a 2 x1 = _______________________ = _ = _ = _ 2(a + 1) 2(a + 1) 2(a + 1) a + 1 1 Q se a __ 3 5a + 1 + 3a 1 8a 4a x2 = _______________________ = _ = _ 2(a + 1) 2(a + 1) a + 1 Riassumendo: Q se a = 1: l equazione è di primo grado con soluzione x = 1; 1 Q se a = __: = 0 e l equazione ha due soluzioni reali coincidenti x1 = x2 = 1 3 1 a 1 4a Q se a 1 e a __: l equazione ha due soluzioni reali e distinte x 1 = _____ e x 2 = ______ 3 a+1 a+1 __ __ __ 67 x 2 = 2ax + 2x 4a [2; 2a] 70 x 2 b (2x + 1) = (x + b) [ b 1; b ] 68 x 2 2ax 3a 2 = 0 [ a; 3a] 71 2cx = (c 1) + (c + 1)x 2 [ 1; 1 + c ] 69 (x a)(x + a) = 1 2a [ (a 1)] 72 x2 9 = 2ax a2 73 ax2 2ax = 3x 6 74 2px + x2 9 = 6p 75 (b2 4 + x)2 4b2x = 0 76 4b2x2 4bx + 1 b2 = 0 230 1 c _____ [a + 3; a 3] _3_ [se a = 0: x = 2; se a 0: x = 2 e x = a ] [3; 2p 3] [(b + 2)2; (b 2)2] (1 b) ______ [se b = 0: S = ; se b 0: x = 2b ]