ALGEBRA esempio O Esegui la seguente divisione tra polinomi e verifica il risultato ottenuto. (4x4 x3 + x2 + 3x 1) : (4x2 3) I polinomi sono già ordinati e il polinomio dividendo è completo; eseguiamo l algoritmo della divisione: 4x4 x3 + x2 + 3x 1 4x2 3 4x4 1 x2 __ x + 1 4 3x2 x3 + 4x2 + 3x 1 3 x3 + __ x 4 9 4x2 + __ x 1 4 4x2 3 9 __ x + 2 4 1 9 Il quoziente è x2 _x + 1 e il resto è _x + 2. 4 4 Poiché il resto è diverso da 0, il polinomio 4x4 x3 + x2 + 3x 1 non è divisibile per 4x2 3. Verifichiamo il risultato: 1 3 2 2 4 2 3 2 _ _ (x 4 x + 1)(4x 3) = 4x 3x x + 4 x + 4x 3 = PROVA TU P E Esegui la divisione intera tra i seguenti polinomi determinando quoziente e resto: a. (2x4 4x3 5x2 5) : (x2 + 2) b. (9x3 6x2 + 3x + 1) : (3x + 1) I protagonisti della matematica 3 = 4x4 x3 + x2 + _x 3 4 Addizionando il resto abbiamo: 3 9 4x4 x3 + x2 + _x 3 + (_x + 2) = 4x4 x3 + x2 + 3x 1 4 4 Possiamo così scrivere: 1 9 4x4 x3 + x2 + 3x 1 = (4x2 3)(x2 _x + 1) + _x + 2 4 4 La regola di Ruffini per dividere un polinomio Un metodo particolare per eseguire la divisione tra polinomi, nel caso in cui il polinomio divisore sia un binomio di primo grado, è l algoritmo conosciuto come regola di Ruffini, poiché prende il nome dal matematico Paolo Ruffini. Paolo Ruffini (1765-1822) era laureato in filosofia, medicina e in matematica. Il suo nome è legato al teorema e al metodo di Ruffini che è un algoritmo per effettuare la divisione di un polinomio in una variabile per un binomio di primo grado nella stessa variabile. 22 La regola di Ruffini consente di determinare più rapidamente il quoziente della divisione tra un polinomio p(x) e un binomio del tipo x k, rispetto all algoritmo della divisione appena studiato. Per esempio, supponiamo di voler dividere p(x) = x5 x 2x3 14 per x 2 (in tal caso k = 2). 1. Riscriviamo il polinomio p(x) in modo completo (considerando i termini eventualmente mancanti, cioè i termini con coefficiente 0), ordinandolo secondo le potenze decrescenti di x: x5 + 0x4 2x3 + 0x2 x 14