1 Operare con numeri e lettere L algoritmo che costruiamo per eseguire la divisione di a(x) per b(x) presenta la stessa sequenza di operazioni dell algoritmo della divisione tra due numeri. Vediamo come procedere seguendo passo passo la divisione tra il polinomio a(x) = 3x2 3x3 +2x4 x e il polinomio b(x) = 2 2x + x2. Innanzitutto riscriviamo i due polinomi in modo ordinato secondo le potenze decrescenti di x: a(x) = 2x4 3x3 + 3x2 + 2 b(x) = x2 2x + 2 Riscriviamo poi il polinomio dividendo in forma completa, inserendo anche i termini mancanti di grado intermedio con coefficiente numerico uguale a 0. Nell esempio, il polinomio a(x) viene così riscritto: ATTENZIONE! A U polinomio è ordinato in Un modo decrescente (o crescente) rispetto a una variabile x se i suoi termini sono disposti in modo che gli esponenti di x siano in ordine decrescente (o crescente). Q Un polinomio è completo rispetto a una variabile x che ha grado massimo n se in esso sono presenti tutte le potenze naturali di x, da quella con esponente 0 a quella con esponente n. Q 2x4 3x3 + 3x2 + 0x + 2 Quindi, avendo riscritto i polinomi in forma ordinata e il dividendo in forma completa, procediamo secondo l usuale algoritmo della divisione in colonna. 2x4 3x3 + 3x2 + 0x + 2 x2 2x + 2 2x2 dividiamo 2x4 (cioè il termine di grado massimo del dividendo) per x2: otteniamo 2x2 2x4 3x3 + 3x2 + 0x + 2 x2 2x + 2 2x2 2x4 4x3 + 4x2 moltiplichiamo 2x2 per il divisore e scriviamo il risultato a sinistra, in colonna; sottraendo otteniamo il nuovo polinomio da dividere x3 x2 + 0x + 2 2x4 3x3 + 3x2 + 0x + 2 x2 2x + 2 2x4 4x3 + 4x2 2x2 + x x3 x2 + 0x +2 x3 2x2 + 2x dividiamo x (cioè il termine di grado massimo del nuovo dividendo) per x2: otteniamo x. Ripetiamo la procedura precedente 3 ATTENZIONE! A L L algoritmo della divisione tra polinomi è formalmente identico a quello della divisione tra numeri. formato da una successione di operazioni ripetute ciclicamente considerando via via potenze a esponente minore: Q dividiamo ; Q moltiplichiamo ; Q sottraiamo ; fino a ottenere il resto (polinomio di grado inferiore al divisore). x2 2x + 2 2x4 3x3 + 3x2 + 0x + 2 x2 2x + 2 2x4 4x3 + 4x2 x3 x2 + 0x + 2 x3 2x2 + 2x x2 2x + 2 x2 2x + 2 0 2x2 + x + 1 dividiamo x2 per x2 (cioè il termine di grado massimo del nuovo dividendo): otteniamo 1. Ripetiamo ancora la procedura. L algoritmo della divisione termina quando, sottraendo, otteniamo un polinomio di grado minore di quello del divisore. Il polinomio di grado inferiore è il resto della divisione, che in questo caso è 0 Abbiamo ottenuto resto 0: il polinomio a(x) è divisibile per il polinomio b(x). Il polinomio q(x) = 2x2 + x + 1 è, dunque, il quoziente. Possiamo allora scomporre il polinomio a(x) in questo modo: a(x) = b(x) q(x) In particolare abbiamo: 2x4 3x3 + 3x2 + 2 = (x2 2x + 2)(2x2 + x + 1) 21