ALGEBRA Poiché una frazione è uguale a 0 quando è nullo il suo numeratore, la ricerca delle soluzioni di questa equazione porta a risolvere l equazione (intera) di secondo grado x2 + 3x 4 = 0, le sue soluzioni sono: x1 = 4 e x2 = 1 Questi due valori appartengono all insieme in cui l equazione ha significato: sono, quindi, le sue soluzioni (come è semplice verificare sostituendole alla x nell equazione data). Quest ultima osservazione deve essere ben considerata: ATTENZIONE! A L frazione algebrica non è ridotta La ai minimi termini; può essere, infatti, così riscritta: x 1)(x + 4) (_________________ (x + 4) Semplificando, otteniamo il binomio (x 1): x 1=0 x=1 Il binomio è equivalente alla frazione se x 4. una soluzione non può essere accettata se non appartiene all insieme in cui l equazione ha significato, al suo insieme di definizione. Per esempio l equazione frazionaria: x2 + 3x 4 ________________ =0 x+4 ha come insieme di definizione R { 4}, perché per x = 4 il denominatore è uguale a 0. Risolvendola, come nel caso precedente, otteniamo che il numeratore si annulla per x1 = 4 o per x2 = 1. In questo caso solo il secondo di questi due valori è soluzione. Riassumendo: f (x) Q per risolvere una equazione frazionaria del tipo: ____ = 0 occorre innang(x) zitutto stabilire qual è il suo insieme di definizione; Q le soluzioni si trovano poi considerando l equazione intera f(x) = 0 ottenuta uguagliando a zero il suo numeratore; Q tra le soluzioni così trovate, sono però da accettare solo quelle che appartengono all insieme di definizione dell equazione data. Non sempre una equazione frazionaria è scritta come uguaglianza a zero di una frazione algebrica. Spesso compaiono operazioni con frazioni algebriche, operazioni tra esse e monomi, polinomi, numeri reali. La procedura per risolvere una equazione frazionaria che non sia già f (x) nella forma ____ = 0 è perciò la seguente: g(x) Q determinare l insieme di definizione dell equazione: è l insieme in cui è definita ciascuna delle frazioni algebriche che vi compaiono; Q trovare il minimo comune multiplo di tutti i denominatori; Q moltiplicare ogni termine per tale minimo comune multiplo in modo da eliminare i termini frazionari; Q risolvere l equazione intera così ottenuta; Q accettare solo quelle soluzioni che appartengono al suo insieme di definizione. esempi O Risolvi la seguente equazione: 2 1 _ 1=_ 2 3x + 3 x 1 Riscriviamo le frazioni, dopo aver scomposto i denominatori: 1 2 _________________ 1=_ (x + 1)(x 1) 3(x + 1) 216