4 Equazioni, disequazioni, sistemi bile x un valore che annulli il denominatore perché in tal caso la frazione non ha significato. Consideriamo ora, appunto, le equazioni frazionarie, cioè le equazioni in cui l incognita compare anche a denominatore e vediamo in quali condizioni possiamo risolverle. KEYWORDS K e equazione frazionaria / fractional equation In generale sappiamo che il quoziente di due polinomi f e g (con una o più variaf bili) è, una frazione algebrica cioè una espressione frazionaria __ in cui le variag bili compaiono anche a denominatore. In particolare, se sia a numeratore sia a denominatore c è un polinomio nella f(x) variabile x, la frazione algebrica è del tipo ____. g(x) Come sappiamo, poiché non è possibile dividere per zero, un espressione di questo tipo ha significato se e solo se il suo denominatore è diverso da 0. Tra i valori che è possibile sostituire alla variabile occorre, quindi, escludere quelli per i quali il denominatore diventa uguale a zero. esempio O Per quali valori di x le seguenti frazioni algebriche hanno significato? x3 3x + 1 a. ________________ x2 1 3 b. _ 3 x 1 x2 + 3x 4 c. ________________ x 3 a. Il denominatore della frazione algebrica si annulla se x2 1 = 0. La frazione ha significato per x 1: x R {1, 1}. b. In questo caso il denominatore si annulla se x3 1 = 0, cioè se x = 1. Quindi la frazione algebrica ha significato se x 1: x R {1}. c. Il denominatore si annulla se x = 3; quindi x R {3}. Consideriamo l ultima frazione algebrica del precedente esempio. f (x) del tipo ____ e possiamo considerare la corrispondente funzione: g(x) x2 + 3x 4 y = ________________ x 3 una funzione frazionaria o, come si usa dire, fratta e non è sempre definita: è possibile assegnare a x un qualsiasi valore reale a eccezione del valore 3 perché tale valore annulla il denominatore. L insieme di definizione della funzione è, quindi, R {3}. Una funzione fratta è definita nel sottoinsieme di R formato dai valori reali che, sostituiti alla variabile x, non annullano il denominatore. ATTENZIONE! A U funzione razionale fratta è Una definita in un sottoinsieme di R: dall insieme R occorre escludere i valori in corrispondenza dei quali la frazione algebrica che esprime la funzione perde significato, quindi dobbiamo escludere i valori che annullano il denominatore. Cerchiamo ora gli eventuali zeri della funzione. La funzione ha valore 0 se abbiamo: 2 x + 3x 4 ________________ =0 x 3 Dobbiamo risolvere una equazione frazionaria in una incognita e determinare i valori reali che rendono vera l uguaglianza. 215