4 Equazioni, disequazioni, sistemi Il denominatore della prima frazione si annulla per (x + 1)(x 1) = 0 cioè per x = 1; quello della seconda si annulla per x = 1. L insieme di definizione è R {1, 1}. Il minimo comune multiplo dei denominatori è 3(x + 1)(x 1). Abbiamo: 6(x + 1)(x 1) 3(x + 1)(x 1) ____________ 3(x + 1)(x 1) = _____________ (x + 1)(x 1) 3(x + 1) 6 3(x2 1) = x 1 2 3 x + x 10 = 0 è una equazione intera di secondo grado 5 x1 = 2 e x2 = _ 3 Entrambe le soluzioni appartengono all insieme di definizione: sono perciò le soluzioni dell equazione data. O Risolvi la seguente equazione: 2 x+2 _ x +1 _ 3 _ + = x+1 1 x2 x 1 Riscriviamola, dopo aver scomposto i denominatori dei suoi termini: 2 x + 2 _________________ x +1 3 _ + =_ x + 1 (1 + x)(1 x) x 1 L insieme di definizione è R {1, 1}. Per avere gli stessi fattori cambiamo il segno alla seconda frazione: 2 x + 2 _________________ x +1 3 _ =_ x + 1 (1 + x)(x 1) x 1 Il denominatore comune è (x + 1)(x 1). Abbiamo: (x + 2)(x 1) (x2 + 1) = 3(x + 1) x2 + 2x x 2 x2 1 = 3x 3 x 3 = 3x 3 è una equazione intera di primo grado 4x = 0 La soluzione è x = 0, che appartiene all insieme di definizione dell equazione. PROVA TU P Ri Risolvi le seguenti equazioni frazionarie: x 1 1 1 x 1+x x 1 3x 4x + 1 2 x2 b. ________________ +_=_ 2 x 2x 3 6 2x 6x + 6 a. _ + _ + _ =0 2 FISSA I CONCETTI Q Q Q Q Q Una funzione polinomiale (o razionale intera) è una funzione del tipo y = p (x) dove p (x) è un polinomio nella variabile x. Il grado della funzione è il grado del polinomio. Una funzione polinomiale è sempre definita in R. In una funzione fratta la variabile x compare a denominatore di una frazione; la sua espressione f (x) è del tipo y = ____ ed è definita solo per quei valori reali di x per i quali g (x) 0. g (x) f (x) Una equazione frazionaria è del tipo ____ = 0. g (x) Per risolvere una equazione frazionaria occorre: determinare l insieme di definizione; applicare il principio di equivalenza delle equazioni e riportarla a intera; risolvere l equazione intera; accettare solo le soluzioni che appartengono all insieme di definizione. 217