ALGEBRA ATTENZIONE! A Al Alcune volte può essere richiesto di analizzare le soluzioni di una equazione letterale che è sottoposta a particolari condizioni: può essere necessario, per esempio, risolvendo un problema geometrico, che le soluzioni siano non solo numeri reali, ma anche positivi. In questi casi, occorre allora risolvere l equazione e formalizzare cioè tradurre algebricamente le condizioni poste. Quindi: per m 4, due soluzioni reali distinte. O Determina per quali valori del parametro h l equazione x2 + (2 h)x + 5 h = 0 ha: a. soluzioni reali; b. una soluzione nulla. a. Il discriminante è: = (2 h)2 4(5 h) = 4 4h + h2 20 + 4h = h2 16 PROVA TU P aa. Risolvi la seguente equazione letterale che contiene un parametro k (le soluzioni conterranno anch esse il parametro k): kx 2 2kx + k 1 = 0 b. Determina per quali valori di k l equazione ammette soluzioni reali e distinte: (k + 1)x 2 3kx + 2k = 0 FISSA I CONCETTI Discutere l esistenza in R delle soluzioni di una equazione letterale di secondo grado significa analizzare per quali valori del parametro le soluzioni sono reali e distinte, reali e coincidenti, non esistono. Esercizi da pag. 233 ATTENZIONE! A In un sistema di formule racchiudiamo le formule stesse, scritte una sotto l altra, in una parentesi graffa in questo modo f g h. . . Se le formule sono disequazioni, ciascuna con il suo grado, definiamo grado del sistema il prodotto dei gradi delle singole disequazioni che lo compongono. 210 soluzioni reali 0 h 4 o h 4 b. Una equazione di secondo grado ha una soluzione nulla se il termine noto C è uguale a 0. Perciò abbiamo una soluzione nulla quando h = 5. O Per quali valori del parametro t l equazione x2 t(2x + 1) = (x + t2) ha entrambe le soluzioni reali? Per quali valori le soluzioni sono coincidenti? Riordiniamo l equazione: x2 + (1 2t)x + t2 t = 0 = 1 + 4 t2 4t 4 t2 + 4t = 1 L equazione ha soluzioni reali per qualunque valore reale di t. Troviamo: x1 = t 1 e x2 = t. Affinché le due soluzioni siano coincidenti deve essere: x1 = x2 t 1 = t equazione impossibile Non esiste alcun valore del parametro t per cui le soluzioni dell equazione sono coincidenti. 2 I sistemi di disequazioni Ricordiamo che il termine «sistema è utilizzato per indicare la congiunzione tra più scritture. Un sistema di n formule indica, per esempio, un insieme di n formule che devono essere tutte verificate contemporaneamente. Risolverlo vuol dire trovare quei valori per cui tutte le formule sono vere. In particolare, per risolvere un sistema di disequazioni consideriamo separatamente le disequazioni che lo compongono: le risolviamo e troviamo così per ognuna di esse l insieme delle soluzioni. L intersezione degli insiemi così individuati contiene tutte e sole le soluzioni del sistema dato. Per rappresentare graficamente le soluzioni di un sistema di disequazioni, conviene evidenziare sulla retta gli intervalli a cui appartengolo le soluzioni di ciascuna di esse e poi leggere graficamente in quali intervalli sono soddisfatte tutte le disequazioni che compongono il sistema. Naturalmente, può darsi che tale insieme intersezione sia vuoto; le disequazioni sono in tal caso tra loro incompatibili: rappresentano delle richieste che non possono essere tutte insieme soddisfatte.