4 Q Equazioni, disequazioni, sistemi Se A 0 cioè k + 1 0 k 1, applichiamo la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado (in questo caso possiamo usare quella ridotta): ____________________________________ _______________________ k k2 (k 1)(k + 1) k k2 k2 + 1 k 1 x = _____________________________________________ = ________________________________ = _ k+1 k+1 k+1 1 k x2 = _ 1+k Osserviamo che in questa equazione il discriminante è sempre uguale a 1, indipendentemente dal valore del parametro k; ciò non accade nella generalità dei casi. x 1 = 1 Vediamo ora un altro esempio (di incognita x e parametro reale t), nel quale, invece, il valore del discriminante dipende dal parametro. Consideriamo l equazione, già ordinata: t x2 + 2x + t = 0 in questo caso A = t, B = 2, C = t Discutiamo l equazione. Q Se A = 0 allora l equazione diventa di primo grado 2x = 0 x = 0 ____________ 1 1 t2 Q Se A 0 abbiamo: x = ______________________ t 2 Il discriminante è = 1 t e, contenendo il parametro t, richiede una ulteriore discussione: > 0 1 t2 > 0 t2 1 t 1 Quindi abbiamo: Q per t = 0, l equazione è di primo grado e ha come soluzione x = 0; Q per t 1, l equazione non ha soluzioni in R; Q per t = 1, l equazione ha due soluzioni reali coincidenti: x = 1; Q per 1 < t < 0 e per 0 < t < 1, l equazione ha due soluzioni reali distinte, ____________ 2 1 1 t x = ______________________; Q t per t = 1, l equazione ha due soluzioni reali coincidenti: x = 1. Discutere l esistenza in R delle soluzioni di una equazione letterale di secondo grado significa analizzare per quali valori del parametro le soluzioni sono reali e distinte, reali e coincidenti in un solo valore oppure non esistono. esempi ATTENZIONE! A L discussione di una equazione La letterale di primo grado si limita a stabilire per quali valori del parametro l equazione è determinata, indeterminata o impossibile. Nel caso di equazione letterale di secondo grado la discussione è più complessa perché a seconda del segno del discriminante si distinguono i casi di soluzioni reali distinte, coincidenti o nessuna soluzione reale. O Discuti l esistenza delle soluzioni reali della seguente equazione di parametro m e incognita x: x(2m + x) = (4 + 3m) Riscritta in modo ordinato, l equazione è: x2 + 2mx + (3m + 4) = 0 Vogliamo stabilire per quali valori di m l equazione ammette soluzioni reali e quante esse sono. sufficiente calcolare il discriminante = 4 m2 12m 16 e determinare per quali valori di m esso non è negativo. Ciò conduce a risolvere la disequazione in m: 4m2 12m 16 0 m 1 o m 4 209