RELazIONI E FuNzIONI Le relazioni Una relazione (binaria) in un insieme A è definita da un predicato con due argomenti che appartengono allo stesso insieme. , quindi, definita da un sottoinsieme del prodotto cartesiano dell insieme A con sé stesso. Se x, y, z sono elementi distinti di A e rel è una relazione in A: Riflessiva x A, x rel x Simmetrica x, y A, x rel y y rel x Antisimmetrica x, y A | x rel y y rel x Transitiva x, y, z A, x rel y e y rel z x rel z Una relazione è detta di equivalenza se valgono le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Una relazione è detta di ordine se valgono le proprietà antisimmetrica e transitiva. Le equazioni Una formula aperta è una scrittura sintatticamente corretta, con un predicato e i suoi argomenti, che contiene variabili: si trasforma in una proposizione quando alle variabili vengono sostituiti valori costanti; a seconda dei valori sostituiti si ottiene una proposizione vera o falsa. Una equazione è una formula aperta, definita in un insieme numerico, il cui predicato è «essere uguale , indicato con =. Le variabili che compaiono in una equazione sono dette incognite; a seconda del loro numero l equazione è in una incognita, in due incognite ecc. L insieme delle soluzioni di una equazione definita in un insieme A è il sottoinsieme S di A formato dai valori che, sostituiti alle incognite, rendono vera l uguaglianza. Due equazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. In questo corso, l insieme numerico in cui consideriamo definita una equazione è l insieme R dei numeri reali con le sue operazioni. Principio di equivalenza: se in una equazione addizioniamo o sottraiamo lo stesso numero, oppure se moltiplichiamo o dividiamo per uno stesso numero diverso da 0 sia a sinistra sia a destra del predicato =, otteniamo Insieme delle Equazione ax = b una equazione equivalente a quella data. soluzioni Una equazione in una incognita è di primo grado se la sua sola b determinata S = {x = _} a 0 variabile è elevata alla prima potenza. Con l applicazione del a principio di equivalenza, un equazione numerica di primo graa = 0 e b 0 impossibile S= do può essere riscritta nella forma ax = b (detta forma normale) a = 0 e b = 0 indeterminata S = R con a, b numeri reali. I sistemi di equazioni di primo grado Un sistema di equazioni in due o più incognite, definite in un insieme, è un insieme di due o più equazioni, considerate contemporaneamente. Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono; si dice lineare un sistema di primo grado. 2