1 Operare con numeri e lettere esempio O Scomponi in fattori i seguenti polinomi riscrivendoli, se possibile, come quadrati di binomio. a. a2 + 4b2 4ab = (a 2b)2 1 b. a4 a2b + __ b2 4 1 2 = (a2 _b) 2 c. 9a6b2 + c4 non è un trinomio e non può quindi essere il quadrato di un binomio non è il quadrato di un binomio, infatti (3y2 + x)2 = 9y4 + x2 + 6xy2 e non 18xy2 d. 9y4 + x2 + 18xy2 e. 1 + 9x6 6x3 = (1 3x3)2 f. a2 b2 + 2ab non è il quadrato di un binomio perché i due termini quadrati hanno segno diverso PROVA TU P S Scomponi, se possibile, i seguenti trinomi: a. 4x2 + 9y4 12xy2 b. a4b4 + 4a2b2 + 4 c. 4z2 + 9 6z Cubo di binomio Un polinomio di quattro termini è il cubo di un binomio se, una volta ordinato rispetto a una lettera, si presenta nella forma: S3 + 3S2T + 3ST2 + T3 Cioè se presenta due termini che sono cubi di monomi (S3 e T3) e due termini che sono i tripli prodotti tra il quadrato di un monomio e l altro monomio (3S2T e 3ST2). In tal caso possiamo scomporlo come (S + T)3 KEYWORDS K cu di binomio / cubo cube of a binomial I termini possono avere: 3 Q tutti segno positivo: la scomposizione è (S + T) ; 3 2 2 3 3 Q tutti segno negativo: S 3S T 3ST T = ( S T) ; Q segni alternativamente positivo e negativo o viceversa: rispettivamente: S3 3S2T + 3ST2 T3 = (S T)3 e S3 + 3S2T 3ST2 + T3 = ( S + T)3 esempio O Scomponi in fattori i seguenti quadrinomi, cubi di binomio. a. 8b3 12b2y + 6by2 y3 = (2b)3 + 3(2b)2 ( y) + 3 2b ( y)2 + ( y)3 = = (2b y)3 b. 27x6y3 + 125 + 135x4y2 + 225x2y = 27x6y3 + 135x4y2 + 225x2y +125 = = (3x2y)3 + 3(9x4y2)5 + 3(3x2y)(5)2 + 53 = (3x2y + 5)3 S Scomponi, se possibile, i seguenti quadrinomi: a. a3 + b 3 + a 2b + 3ab 2 b. 1 + 3x 3x 2 + x 3 c. x 3y 3 15x 2y 2 75xy 125 Quadrato di trinomio q quadrato di un trinomio / square of a trinomial PROVA TU P KEYWORDS K Un polinomio di sei termini è il quadrato di un trinomio se si presenta nella forma: R2 + S2 + T2 + 2RS + 2RT + 2ST Se un polinomio di sei termini è formato dalla somma di tre termini che sono quadrati di monomi e da altri tre che risultano essere i doppi prodotti di tali monomi, allora è possibile così scomporlo: R2 + S2 + T2 + 2RS + 2RT + 2ST = (R + S + T)2 I segni dei doppi prodotti dipendono dai segni dei monomi qui rappresentati da R, S e T. ATTENZIONE! A P capire il segno dei monomi che risultano elevati al quadrato è Per necessario controllare il segno dei doppi prodotti: se sono tutti positivi, essi sono tutti concordi; se due doppi prodotti sono negativi, allora due monomi sono concordi e uno discorde (due positivi e uno negativo o due negativi e uno positivo). Non è possibile avere un solo doppio prodotto negativo: x 2 + y 2 + z 2 + 2xy 2xz + 2yz non è il quadrato di alcun trinomio; infatti: (x + y z)2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy 2xz 2yz (x y z)2 = x 2 + y 2 + z 2 2xy 2xz + 2yz 19