ALGEBRA ATTENZIONE! A Prodotti notevoli: P Q Somma per differenza: (S + T ) (S T ) = S 2 T 2 Q Quadrato di un binomio: (S T)2 = S 2 2ST + T 2 3 Q Cubo di binomio: (S T ) = 3 2 2 = S 3S T + 3S T T 3 Q Quadrato di un trinomio: (R S T )2 = R 2 + S 2 + + T 2 2RS 2RT 2ST KEYWORDS K dif differenza di due quadrati / difference of two squares Utilizzare prodotti notevoli Se in un polinomio riconosciamo un prodotto notevole, possiamo facilmente scomporlo risalendo ai fattori che, moltiplicati tra loro, lo originano. Differenza di quadrati Ricordando che il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale alla differenza dei loro quadrati, il polinomio: 9x2 y2 può essere scomposto in questo modo: 9x2 y2 = (3x + y)(3x y) Se, quindi, un binomio è del tipo S2 T2, se cioè è la differenza di due quadrati, può essere così scomposto: S2 T2 = (S + T)(S T) esempio O Riconosci quali dei seguenti binomi sono le differenze di due quadrati a coefficienti razionali e, quindi, scomponili in fattori. a. 16a2b2 25 = (4ab + 5)(4ab 5) PROVA TU P S Scomponi, se possibile, i seguenti binomi: a. 1 4a4b 2 9 b. __ a6 c 2 4 c. x 4 + 25y 2 9 b. 16 a2 ___ b6c4 25 3 3 = (4a + __ b3c2)(4 a __ b3c2) 5 5 c. 3x4y2 z2 non è scomponibile nell insieme dei numeri razionali perché 3 non è quadrato di alcun numero razionale d. 9x4 + y2z2 = (yz +3x2)(yz 3x2) e. 9x4 + 4y2 non è scomponibile, perché è la somma e non la differenza di due quadrati: è un polinomio irriducibile. APPROFONDIMENTO A KEYWORDS K L possibilità di scomporre un polinomio dipende dall ambiente in cui si opera. Se ci limitiamo, come La qui, all insieme dei numeri razionali Q, allora il caso c. dell esempio sopra, non è scomponibile. Se_invece, operiamo nell insieme R, allora il binomio è così scomponibile: _ ( 3x 2y + z)( 3x 2y z) Il polinomio 9x4 + 4y2 del caso e. non è scomponibile neppure in R. q quadrato di binomio / square of a binomial Quadrato di binomio ATTENZIONE! A Il quadrato di un numero può provenire da due numeri opposti fra loro: 9 = ( 3)2 = (+3)2 Allo stesso modo il quadrato di un binomio può provenire da due binomi opposti fra loro: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ma anche: a2 + 2ab + b2 = ( a b)2 Inoltre: a2 2ab + b2 = (a b)2 ma anche: a2 2ab + b2 = ( a + b)2 18 Se un polinomio di tre termini (trinomio) è composto dalla somma di due termini che sono quadrati di monomi e da un terzo termine che è il doppio prodotto tra tali monomi, cioè se si presenta in una di queste forme: S2 + 2ST + T2 S2 2ST + T2 allora può essere immediatamente scomposto come quadrato di un binomio: S2 + 2ST + T2 = (S + T)2 S2 2ST + T2 = (S T)2 sufficiente individuare quali siano i monomi che risultano elevati alla seconda e controllare che il terzo termine sia il loro doppio prodotto: se il doppio prodotto è positivo, allora i due monomi hanno lo stesso segno (sono concordi), se è negativo, hanno segni opposti (sono discordi).