1 Operare con numeri e lettere d. a 1 6a2b + 6ab = a 1 6ab(a 1) = (a 1)(1 6ab) e. a2 a ab + b = a(a 1) b(a 1) = (a 1)(a b) f. ax bx + cx + ay by + cy = x(a b + c) + y(a b + c) = = (a b + c)(x + y) PROVA TU P S Scomponi in fattori i polinomi con il raccoglimento parzale. a. 6x 3 3xy + 2x 2y 2 y 3 b. x2 x xy + y Un trinomio particolare Un applicazione particolare di scomposizione per parti può essere eseguita in un trinomio di secondo grado a coefficienti interi del tipo x2 + sx + p con s, p 0, se esistono due numeri interi t1 e t2 la cui somma è uguale a s e il cui prodotto è uguale a p. In tale caso, possiamo riscrivere il trinomio nel seguente modo: x2 + sx + p = x2 + (t1 + t2)x + t1 t2 = x2 + t1x + t2x + t1 t2 e possiamo effettuare la scomposizione per parti: x(x + t1) + t2(x + t1) = (x + t1)(x + t2) Per esempio, dato il trinomio x2 + 3x + 2 abbiamo s = t1 + t2 = +3 e p = t1 t2 = +2. I numeri interi che per prodotto hanno 2 e somma 3 sono t1 = +2 e t2 = +1. Riscriviamo il trinomio come: x2 + 3x + 2= x2 + 2x + x + 2 1 = x(x + 2) + 1(x + 2) = (x + 2)(x + 1) APPROFONDIMENTO A Q Questa regola di scomposizione è conosciuta anche come somma - prodotto, proprio per ricordare che se per un polinomio di secondo grado nella variabile x del tipo x 2 + sx + p, si trovano due valori t1 e t2 tali che la loro somma sia s il loro prodotto sia p, allora è possibile riscriverlo come prodotto (x + t1)(x + t2). Per cercare se esistono i numeri t1 e t2 che soddisfano le condizioni, partiamo sempre dal cercare i fattori in modo da ottenere il termine p, dal momento che il numero delle coppie dei fattori che danno un prodotto è finito mentre il numero delle coppie degli addendi che soddisfano una somma sono infiniti. esempio O Scomponi in fattori il trinomio x2 + x 6. In questo caso, essendo s = 1 e p = 6, le condizioni che deve rispettare il trinomio per essere considerato particolare sono: t1 + t2 = 1 {t 1 t 2 = 6 Per quanto riguarda t1 t2 = 6 le scelte possibili sono quelle indicate in tabella. t1 t2 +1 6 1 +6 +2 3 2 +3 FISSA I CONCETTI Q Q Tra queste coppie, una sola rispetta la condizione t 1 + t 2 = 1 ed è l ultima cioè t1 = 2 e t2 = +3. Quindi la scomposizione in fattori è: x2 + x 6 = (x 2)(x + 3) Q Raccoglimento totale: metodo per scomporre un polinomio mettendo in evidenza il fattore di grado massimo comune a tutti i termini (il MCD): ax + ay = a (x + y ) Raccoglimento parziale: metodo per scomporre un polinomio per parti: ax + bx + ay + by = = a (x + y) + b (x + y) = = (a + b)(x + y) Trinomio particolare: x2 + sx + p = = (x + t1)(x + t2) con s = t1 + t2 e p = t1 t2. 17