ALGEBRA c. 6x3y 10x4y2 + 2x2y d. 5a3y2z + 5a2yz3 35ay3z3 il MCD dei tre termini è 2x2y, quindi: 2x2y(3x 5x2y + 1) il MCD dei tre termini è 5ayz, quindi: 5ayz( a2y + az2 7y2z2) In d. potevamo mettere in evidenza anche il fattore 1, dal momento che due termini su tre sono negativi. In questo caso, ponendo il segno davanti alla parentesi, dobbiamo cambiare i rispettivi segni dei termini del polinomio all interno della parentesi. La scomposizione del polinomio, pertanto, può essere scritta: 5a3y2z + 5a2yz3 35ay3z3= 5ayz(a2y az2 + 7y2z2) ATTENZIONE! A S i coefficienti di un polinomio Se non sono tutti numeri interi, allora mettiamo in evidenza il MCD della parte letterale e per la parte numerica ci regoliamo a seconda dei casi, in modo da rendere l espressione la più semplice possibile. 3 6 e. __ a3x2 __ a2x3 5 5 In questo caso i coefficienti numerici non sono numeri interi. Per scomporre 3 il polinomio possiamo prendere come MCD anche il fattore numerico __, dal 5 momento che i coefficienti numerici hanno come denominatore comune 5 e 3 è il MCD tra i numeratori. La scomposizione può dunque essere la seguente: _3_ a3x2 _6_ a2x3 = _3_ a2x2(a 2x) 5 5 5 Raccoglimento parziale ATTENZIONE! A Q L L esempio a fianco può essere generalizzato considerando il binomio del tipo a + b come se fosse un unico termine: ax + bx + ay + by = = x (a + b ) + y (a + b ) = S S = xS + yS = S (x + y ) = = (a + b )(x + y ) Q Nel caso c. dell esempio conviene mettere in evidenza y, nel binomio 5xy + y, anziché y. Otteniamo così il fattore 5x 1, che è lo stesso ottenuto nella prima parte del polinomio. Quando effettuiamo la scomposizione per parti, dobbiamo sempre ottenere un polinomio uguale tra le varie parti in modo da poter poi eseguire il raccoglimento totale. 16 In alcuni casi per scomporre in fattori un polinomio è possibile applicare la proprietà distributiva soltanto a parti del polinomio, per ottenere un polinomio comune. Per prima cosa quindi mettiamo in evidenza per parti e, successivamente, mettiamo di nuovo in evidenza l eventuale fattore comune. Per esempio, nel polinomio: 3ax + 2x + 3ay + 2y possiamo considerare separatamente i due polinomi (3ax + 2x) e (3ay + 2y) e mettere rispettivamente in evidenza x e y: 3ax + 2x + 3ay + 2y = x (3a + 2) + y (3a + 2) Il polinomio originario non è ancora scomposto in fattori perché è somma di due termini. Tuttavia, il binomio (3a + 2) moltiplica sia x sia y e, quindi, può essere messo in evidenza: x(3a + 2) + y(3a + 2) = (3a + 2)(x + y) Il polinomio è così scomposto nel prodotto di due fattori (3a + 2) e (x + y): 3ax + 2x + 3ay + 2y = (3a + 2)(x + y) In questo esempio possiamo anche considerare insieme rispettivamente i termini 3ax e 3ay e i termini 2x e 2y, mettendo in evidenza 3a tra i primi due e 2 tra gli altri, ottenendo così il polinomio comune (x + y). Quindi, ritroviamo la stessa scomposizione in fattori del polinomio dato: 3ax + 2x + 3ay + 2y = 3a(x + y) + 2(x + y) = (x + y)(3a + 2) esempio O Scomponi in fattori i seguenti polinomi, mettendo in evidenza per parti. a. 5x2y 5x2z+ +2ay 2az = 5x2 (y z) + 2a(y z) = (y z)(5x2+ 2a) b. 8a3 2ab + 4a2b2 b3 = 2a(4a2 b) + b2(4a2 b) = (4a2 b)(2a + b2) c. 5x2 x 5xy +y = x(5x 1) y(5x 1) = (5x 1)(x y)