3 Funzioni ed equazioni di secondo grado 4. osserviamo quali sono i punti della parabola con y > 0 (qui sono evidenziati in colore): y O 1 5 x 5. evidenziamo gli intervalli sull asse x corrispondenti ai punti con ordinata positiva: y O 1 5 x APPROFONDIMENTO A Al trinomio ax 2 + bx + c corrisponde una sola parabola, quella di equazione y = ax 2 + bx + c. Invece, una equazione (o una disequazione) può essere associata a diverse parabole, tutte però con le stesse intersezioni con l asse delle ascisse. Per esempio, all equazione x2 _ 3x + 2 = 0 è associata la 2 x2 parabola y = _ 3x + 2, ma, 2 per risolverla, noi consideriamo l equazione x 2 + 6x + 4 = 0 cui è associata la parabola y = x 2 + 6x + 4. Questa è diversa dalla precedente (è quella disegnata in colore) pur avendo le stesse intersezioni con l asse x. y 6. scriviamo le relazioni algebriche che individuano tali intervalli: x5 Questi intervalli costituiscono l insieme delle soluzioni della disequazione data. Nella risoluzione di una disequazione di secondo grado si presentano diversi casi, che dipendono da tre elementi: 2 Q il segno del coefficiente a del trinomio ax + bx + c, che determina se la corrispondente parabola volge la concavità verso l alto (a > 0) o verso il basso (a 0), se i due zeri coincidono in un solo punto ( = 0), oppure se non ha zeri ( oppure 0, ha come soluzioni le ascisse dei punti della parabola che hanno ordinata positiva; ax2 + bx + c o viceversa) perché moltiplichiamo per un numero negativo. O x ATTENZIONE! A Q Quando cambiamo tutti i segni di una disequazione in modo da avere il coefficiente a positivo, noi consideriamo la parabola simmetrica rispetto all asse delle ascisse a quella naturalmente associata alla disequazione data. per questo che, nella ricerca delle soluzioni, cambiamo anche il segno del predicato. 169