3 Funzioni ed equazioni di secondo grado esempio O Scomponi in fattori i seguenti trinomi, dopo aver risolto la corrispondente equazione: a. 6 x2 + x 1 b. 2 x2 9x 5 c. 6 x2 + x + 7 1 d. x2 + _ x 4 1 1 a. 6 x2 + x 1 = 0 ha come soluzioni reali x 1 = _ e x 2 = _. 2 3 Il polinomio è così scomponibile: 1 1 6 x2 + x 1 = 6(x _)(x + _) 3 2 Se preferiamo non avere frazioni possiamo eseguire il mcm dentro le parentesi e semplificare poi i denominatori con il fattore numerico fuori parentesi e scrivere la scomposizione come: (3x 1)(2x + 1) 1 b. 2 x2 9x 5 = 0 ha come soluzioni reali x1 = 5 e x2 = __. 2 Il polinomio è così scomponibile: 1 2 x2 9x 5 = 2(x 5)(x + _) 2 oppure (x 5)(2x + 1) c. 6 x2 + x + 7 = 0 non ha soluzioni reali perché il discriminante è negativo. Il polinomio 6x2 + x + 7 non è scomponibile in R. 1 1 d. x2 + _ x = 0 ha due soluzioni coincidenti: x1 = x2 = __. 4 2 Il polinomio è così scomponibile: 1 2 _ x ( 2) Potevamo anche verificare direttamente che si tratta di un quadrato di un binomio. ATTENZIONE! A N Nella scomposizione di un polinomio evitiamo di avere termini frazionari. Se considerassimo anche i numeri non interi, ogni polinomio sarebbe scomponibile in infiniti modi. Per esempio, anche il binomio x + 2, che è chiaramente non scomponibile, potrebbe essere riscritto in svariati modi, quali: x 2 3 2(_ + 1), _(_ x + 3) e così via. 2 3 2 Quando nella scomposizione di un trinomio ax2 + bx + c i due valori m p x1 e x2 sono frazioni, __ e __, n q scriviamo innanzitutto la scomposizione sulla base del p m teorema: a(x _) x _ . n ( q) Poi se a = n q, possiamo riscrivere il prodotto nella forma: (nx m)(qx p). Per esempio, se dobbiamo scomporre il trinomio 15x2 2x 8, troviamo i suoi zeri e scriviamo: 2 4 15(x + _)(x _) 3 5 Poiché 15 = 3 5, al posto di 2 4 15(x + __)(x __) scriveremo: 3 5 (3x 2)(5x 4) PROVA TU P S Scomponi, se possibile, i seguenti polinomi: a. 2x 3 12x 2 + 16x b. 2x 2 + 3x + 5 c. 5x 2 2x 3 Abbiamo così posto l accento sul fatto che il problema della risoluzione di una equazione di secondo grado è strettamente connesso al problema della scomposizione del trinomio corrispondente: risolubilità (in R) scomponibilità (in R) di una equazione di un polinomio Ciò comporta che talvolta per poter scomporre ricerchiamo le soluzioni dell equazione; altre volte, se il trinomio è dato in forma scomposta, le soluzioni dell equazione corrispondente sono immediate. Se l obiettivo è scomporre in fattori il trinomio ax 2 + bx + c, allora risolviamo l equazione corrispondente ax 2 + bx + c = 0, indicate con x1 e x2 le sue soluzioni reali, il trinomio si scompone in a (x x1)(x x2); Q se una equazione è data in forma già scomposta a(x x1)(x x2) = 0 e l obiettivo è trovarne le soluzioni, allora, senza effettuare calcoli, le sue soluzioni reali sono direttamente x1 e x2. Q Come vedremo nelle prossime unità, tale relazione tra risolubilità e scomponibilità si pone non solo per trinomi ed equazioni di secondo grado, ma, più in generale, per polinomi ed equazioni polinomiali di grado qualunque. FISSA I CONCETTI Q Scomposizione in fattori di un trinomio di secondo grado con a, b, c R e a 0: se 0 e x1, x2 sono le soluzioni di ax 2 + bx + c = 0 allora ax 2 + bx + c = a(x x1)(x x2). 167