RELAZIONI E FUNZIONI Le loro rispettive soluzioni x1 = 2 e 5 x2 = __ 2 sono le soluzioni dell equazione di secondo grado data. Vediamo ora come sia possibile scomporre un trinomio di secondo grado applicando le conoscenze sulle equazioni. Consideriamo un polinomio completo di secondo grado in una sola variabile. Esso è formato da tre termini e può essere scritto nella forma normale: ax2 + bx + c con a, b, c R e a 0 Consideriamo l equazione di secondo grado ottenuta uguagliando a 0 questo polinomio: ax2 + bx + c = 0, con a R0 e mettiamo in evidenza a: b c a(x2 + _ x + _) = 0 a a Supponiamo che essa abbia due soluzioni reali: x1 e x2. b Per le relazioni stabilite precedentemente, la loro somma (x1 + x2) è __ e il loro a c prodotto (x1 x2) è __. Possiamo, quindi, così riscrivere l equazione precedente: a a (x2 (x1 + x2)x + (x1 x2)) = 0 a (x2 x1x x2x + x1x2) = 0 Nella parentesi, mettiamo in evidenza x tra i primi due termini e x2 tra gli altri due: a(x(x x1) x2(x x1)) = 0 da cui, mettendo in evidenza (x x1), otteniamo: a(x x1)(x x2) = 0 L equazione è così riscritta come prodotto di a e di due fattori, ognuno dei quali è la differenza di x e di una delle soluzioni dell equazione stessa. Viceversa, se il polinomio ax2 + bx + c è scomponibile nella forma a(x x1)(x x2), allora l equazione ax2 + bx + c = 0 ha come soluzioni x1 e x2. In questo modo possiamo scomporre in fattori qualsiasi polinomio di secondo grado purché la corrispondente equazione abbia soluzioni reali. così dimostrato il seguente importante risultato per la scomposizione di un trinomio di secondo grado. TEOREMA Un trinomio di secondo grado a coefficienti reali ax2 + bx + c è scomponibile in R se e solo se la corrispondente equazione ax2 + bx + c = 0 ha discriminante non negativo. In tal caso, se x1 e x2 indicano le sue soluzioni reali, il trinomio può essere così scomposto: ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2) Naturalmente, se le due soluzioni sono coincidenti (x1 = x2) il trinomio può essere scomposto come a(x x1)2. La possibilità di scomporre in R il trinomio è così riportata alla possibilità di trovare in R le soluzioni della corrispondente equazione. 166