3 Funzioni ed equazioni di secondo grado Formula ridotta Se il coefficiente b del trinomio ax2 + bx + c è un numero pari, possiamo semplificare i calcoli. Supponiamo infatti che sia b = 2k. Allora abbiamo: _________________ ______________ 2 2 2k 4 k 4ac 2k 2 k ac x = ____________________________ = _________________________ = 2a ______________ 2 2a ______________ 2(k k ac) k k2 ac = __________________________ = _______________________ 2a a b Poiché k = __, otteniamo questa formula ridotta, che conviene utilizzare quando b 2 è un numero pari: KEYWORDS K formula ridotta / reduced formula fo ____________ 2 b b _ (_) ac 2 2 x = _____________________ a b 2 Il discriminante ridotto viene anche indicato con: = (_) ac. 2 esempio O Risolvi l equazione 7x2 + 6x 5 = 0. Poiché a = 7, b = 6, c = 5, il coefficiente b è pari e applichiamo la formula _ ridotta: 11 3 2 x 1 = ______________ 1,38 _ _ 7 3 9 + 35 3 2 11 x = __________________ = ____________ = _ 7 7 3 + 2 11 ______________ x2 = 0,52 7 PROVA TU P Ri Risolvi le seguenti equazioni: a. 2x2 + 7x = 0 b. 6x2 = 0 c. 4x2 + 1 = 0 d. 4x2 1 = 0 e. x2 4x + 3 = 0 Il grafico della parabola attraverso alcuni suoi punti particolari La capacità di risolvere una equazione di secondo grado a una incognita permette di disegnare una parabola di data equazione utilizzando altri due suoi punti significativi: le intersezioni con l asse delle ascisse. esempio 1 O Disegna la parabola di equazione: y = __x2 3x + 4. 2 Per disegnare la parabola, troviamo innanzitutto le sue intersezioni con l asse delle ascisse: _1_x2 3x + 4 = 0 x2 6x + 8 = 0 x1 = 2, x2 = 4 2 Le due intersezioni sono quindi: P1(2 ; 0) e P2(4 ; 0). Queste intersezioni sono certamente simmetriche rispetto all asse della parabola: quindi l asse passa per il loro punto medio. La sua equazione è dunque: 2+4 x=_=3 2 Il vertice è il punto della parabola appartenente all asse: la sua ascissa è 3. La sua ordinata si trova sostituendo il valore 3 alla variabile x, nell equazione: 9 1 yV = __ 9 + 4 = __ 2 2 1 Il vertice è, quindi, V(3 ; __). 2 ATTENZIONE! A N abbiamo utilizzato le formule Non per determinare l equazione dell asse e le coordinate del vertice. Possiamo verificare comunque quanto ottenuto: asse di simmetria b 6 x = _ = _ = 3 2a 2 vertice b 4ac b2 V _ ; ___________ ( 2a 4a ) 8 9 V (3 ; _____) 2 1 V (3 ; _) 2 La capacità di risolvere le equazioni di secondo grado consente spesso di non dover ricorrere all uso di formule per individuare vertice e asse di simmetria di una parabola. 163