RELAZIONI E FUNZIONI PROVA TU P D Determina gli eventuali punti di intersezione con l asse x delle seguenti parabole: a. y = x2 7x + 6 1 b. y = __x2 + x 2 2 L intersezione con l asse delle ordinate è nel punto C(0 ; 4); anche il suo simmetrico C (6 ; 4) appartiene alla parabola. Senza ricorrere alle formule per il vertice e per l asse abbiamo così individuato cinque punti della parabola; possiamo disegnarla con una certa precisione: y Disegna le parabole di equazione: a. y = 2x2 8 b. y = x2 3x C C APPROFONDIMENTO A O Osserva che possiamo scrivere le soluzioni di una equazione ax 2 + bx + c = 0 nel seguente modo: O 1 P1 V P2 x __ b x = __ ____ 2a 2a Risulta così evidente che i due zeri della parabola corrispondente, se esistono, sono equidistanti dal b vertice (di ascissa __). __ 2a L espressione ____ rappresenta 2|a| la loro distanza dall asse di simmetria. ATTENZIONE! A S < 0 l equazione di secondo Se grado non ammette soluzioni reali. tuttavia possibile determinare b c __ e __ sostituendo i coefficienti a a dell equazione, ma in questo caso non possiamo associarle in R alla somma e prodotto delle soluzioni. Relazioni tra le radici dell equazione di secondo grado e i suoi coefficienti Consideriamo una equazione di secondo grado: ax2 + bx + c = 0 Se l equazione ha soluzioni reali, cioè se 0, queste sono rispettivamente espresse da: _ _ b b2 4ac b + b2 4ac x 1 = ___________________ x 2 = ___________________ 2a 2a Consideriamo la loro somma e il loro prodotto: _ 2 _ 2 b b 4ac b + b 4ac 2b b x 1 + x 2 = ___________________ + ___________________ = _ = _ 2a _ 2a _ 2a a b b2 4ac b + b2 4ac x 1 x 2 = ___________________ ___________________ = 2a 2a _ ( b)2 ( b2 4ac)2 b2 b2 + 4ac _ c __________________ = _______________________ = = 2 2 a 4a 4a Poiché le precedenti valgono per ogni a, b, c R (con a 0), abbiamo dimostrato due relazioni che sussistono tra le soluzioni reali di una equazione di secondo grado e i suoi coefficienti: b c x1 + x2 = _ x1 x2 = _ a a Queste due relazioni diventano particolarmente semplici se il coefficiente a del termine di secondo grado è uguale a 1. Esse permettono di risolvere alcune equazioni di secondo grado senza ricorrere alla laboriosa formula risolutiva. Per esempio, dovendo risolvere l equazione x2 5x + 6 = 0 possiamo osservare 5 che la somma delle due soluzioni è 5 (perché x1 + x2 = ____) e il prodotto è 6 1 6_ _ (perché x1 x2 = 1) e stabilire così che: x1 = 2 e x2 = 3. Il ragionamento può anche essere invertito: per trovare due numeri la cui somma sia s e il cui prodotto sia p basta risolvere l equazione: x2 sx + p = 0 164