3 Funzioni ed equazioni di secondo grado Sostituendo queste espressioni alle variabili y e x nell equazione y = ax2 + bx + c otteniamo: b2 4ac b 2 b y ________ = a(x ___) + b(x ___) + c 4a 2a 2a b2 b b2 b2 4ac y = a x 2 + ___2 __x + bx ___ + c + ________ ( a ) 2a 4a 4a y b2 b2 b2 4ac y = ax 2 + ___ bx + bx ___ + c + ________ ________ 4a 2a 4a 4a Sommando i termini simili e semplificando otteniamo: p p y = ax 2 Poiché ci riconduciamo al riferimento Oxy l equazione diviene: y = ax2 V Quest ultima, come già sappiamo, è l equazione di una parabola con vertice nell origine e simmetrica rispetto all asse delle ordinate. Ma allora, poiché nella traslazione al grafico p corrisponde una parabola p , il grafico p è anch esso una parabola, con asse parallelo all asse delle ordinate. c.v.d. Possiamo così identificare le funzioni di secondo grado nella variabile x con le parabole il cui asse è parallelo all asse y. Il vertice e l asse della parabola di equazione y = ax 2 + bx + c Se allora nelle equazioni della traslazione sostituiamo (0 ; 0) al posto di x e di y , possiamo ricavare le coordinate del vertice V della parabola: b _ x = x + 2a 2 b 4ac y = y + ___________ 4a b _ 0 = x + 2a 2 b 4ac 0 = y + ___________ 4a V b _ x = 2a b2 4ac y = ___________ 4a b x 2a FISSA I CONCETTI Q Q Conoscendo i coefficienti a, b, c della funzione y = ax2 + bx + c, possiamo determinare le coordinate del vertice e l equazione dell asse di simmetria della parabola. b b2 4ac Nella traslazione di vettore w = ___ ; ________ al vertice V della parabola di (2a 4a ) 2 equazione y = ax + bx + c corrisponde il vertice V della parabola di equazione y = ax2, cioè l origine. w Una qualsiasi parabola con asse di simmetria parallelo all asse y è il grafico di una funzione di secondo grado del tipo y = ax2 + bx + c, con a, b, c R e a 0 Viceversa, ogni funzione di secondo grado del tipo y = ax2 + bx + c, con a, b, c R e a 0, ha come grafico una parabola con asse parallelo all asse y delle ordinate. KEYWORDS K c coordinate del vertice / coordinates of the vertex asse di simmetria / axis of symmetry Indichiamo con (xV ; yV) le coordinate del vertice V di una parabola. Esse sono dunque: (b2 4ac) b xV = ___ yV = _________ 2a 4a L asse di simmetria della parabola è la retta parallela all asse delle ordinate e passante per il suo vertice; ha, quindi, equazione: b x = ___ 2a 151