RELAZIONI E FUNZIONI termine noto (ah2 + k) otteniamo l espressione di una generica funzione espressa da un polinomio di secondo grado: y = ax2 + bx + c y y = ax 2 x O y = ax 2 + bx + c Poiché qualunque parabola con asse parallelo all asse y può essere considerata come la corrispondente in una traslazione di una parabola della stessa forma e con il vertice nell origine, concludiamo che: ogni parabola con asse parallelo all asse y è il grafico di una funzione del tipo y = ax2 + bx + c, con a, b, c R e a 0. Il grafico della funzione y = ax 2 + bx + c Abbiamo visto che l equazione di una parabola qualunque, con asse parallelo all asse delle ordinate, è del tipo y = ax2 + bx + c, con a, b, c R e con a 0. Per completare l identificazione tra l oggetto algebrico (le funzioni espresse da un polinomio di secondo grado nella variabile x) e l oggetto geometrico (le parabole con asse parallelo all asse y), resta da dimostrare il seguente teorema. TEOREMA Ogni funzione y = ax2 + bx + c, con a, b, c R e a 0, ha come grafico una parabola con asse parallelo all asse y delle ordinate. Dimostrazione Osserviamo innanzitutto che, qualunque siano a, b, c R e a 0, è sempre possibile assegnare alla variabile x un qualsiasi valore reale e ottenere un corrispondente valore reale di y: una funzione di secondo grado è definita per ogni x R. Per affermare che il suo grafico è una parabola dobbiamo individuare una traslazione di vettore v = (h ; k) che faccia corrispondere al suo grafico quello della funzione y = ax2. Effettuiamo la traslazione nel piano, di vettore: b b2 4ac w = ___ ; ________ (2a 4a ) Le equazioni di tale traslazione sono: b _ x = x + 2a b _ x = x 2a da cui b2 4ac b2 4ac ___________ y = y + y = y ___________ 4a 4a 150