3 Funzioni ed equazioni di secondo grado Le equazioni della traslazione di vettore v = (+2 ; +1) sono: x = x + 2 x = x 2 {y = y + 1 da cui {y = y 1 Nell equazione y = 2x2 sostituiamo (x 2) al posto di x e (y 1) al posto di y e otteniamo: y 1 = 2(x 2)2 y = 2(x 2 4x + 4) + 1 y = 2x 2 8x + 9 Poiché ci riferiamo sempre allo stesso riferimento Oxy, l equazione della nuova parabola diventa: y = 2x2 8x + 9 L espressione della funzione è un polinomio completo di secondo grado nella variabile x: ha, infatti, un termine di secondo grado (2x2), uno di primo grado ( 8x) e un termine (9) in cui non compare la variabile x, detto termine noto. Possiamo generalizzare le precedenti osservazioni considerando una qualunque funzione quadratica y = ax2 e una generica traslazione di vettore v = (h ; k). La parabola corrispondente nella traslazione ha: la stessa concavità, il vertice nel punto V(h ; k) e l asse di simmetria, di equazione x = h, parallelo all asse y. Mostriamo che tale parabola è il grafico di una funzione del tipo: y = ax2 + bx + c y k O APPROFONDIMENTO A U funzione la cui espressione Una è un polinomio nella variabile x, è detta funzione polinomiale di x. , quindi, del tipo y = p (x) dove con p (x) indichiamo appunto il polinomio che contiene la sola variabile x. Poiché nel nostro caso il massimo grado della variabile x è 2, diciamo che è una funzione polinomiale di secondo grado. Vedremo più avanti che una funzione di questo tipo è anche detta funzione razionale intera di secondo grado. V h x Poiché le equazioni della traslazione di vettore v = (h ; k) sono: x = x + h x = x h {y = y + k e cioè {y = y k per ottenere l equazione della curva trasformata, sostituiamo (x h) e (y k) rispettivamente al posto di x e di y nell equazione y = ax2. Abbiamo: y k = a(x h)2 y = a(x 2 2hx + h2) + k y = ax 2 2ahx + ah2 + k che, nel riferimento Oxy, diventa: y = ax2 2ahx + ah2 + k La funzione ottenuta, considerata rispetto alla variabile x, è formata da un termine di secondo grado (ax2), uno di primo grado ( 2ahx) e un termine noto (ah2 + k). Se indichiamo con b il coefficiente ( 2ah) del termine di primo grado e con c il 149