3 Funzioni ed equazioni di secondo grado In generale, lo stiramento che lascia invariate le ascisse e modifica le ordinate secondo un fattore a positivo, mantiene alcune caratteristiche geometriche del grafico (y = x2), in particolare la sua simmetria: tutte le parabole così corrispondenti hanno come asse di simmetria l asse delle ordinate, vertice nell origine O e volgono la concavità verso l alto. y ATTENZIONE! A In generale, affermiamo che una curva, nel piano cartesiano, volge la concavità verso l alto (in un intervallo) se, presi comunque due punti nell intervallo, il segmento che unisce i due punti è tutto al di sopra della curva stessa. Così, la parte in colore della seguente curva volge la concavità verso l alto, mentre le parti in nero la volgono verso il basso: y x O All aumentare del valore di a, la corrispondente parabola è via via più stretta (diminuisce cioè la sua concavità) e la y cresce più rapidamente. Per valori di a positivi, ma minori di 1, la corrispondente parabola diviene più larga e la y cresce meno rapidamente, pur mantenendo un legame quadratico con la x. Approssimandosi a 0 il valore di a, la parabola si avvicina all asse delle ascisse. Possiamo considerare quest asse come situazione limite in cui a = 0 e la parabola diviene così una retta: l equazione diviene allora y = 0 che è proprio l equazione dell asse delle ascisse. x Dire che la concavità è rivolta verso l alto è un modo visivamente efficace, ma poco rigoroso. Più correttamente dovremmo dire che la concavità è rivolta verso le ordinate crescenti. Consideriamo ora la simmetria rispetto all asse delle ascisse: a ogni parabola del precedente insieme infinito ne corrisponde un altra con lo stesso vertice, lo stesso asse di simmetria e che volge la concavità verso il basso: y x La concavità rivolta verso il basso vuol dire rivolta verso le ordinate decrescenti. Poiché le equazioni della simmetria considerata sono: x = x {y = y alla parabola y = ax2 corrisponde la parabola y = ax2. In generale quindi, l insieme delle infinite parabole simmetriche rispetto all asse delle ordinate e con vertice nell origine O è descritto dall equazione y = ax2 con a R0. 147