RELAZIONI E FUNZIONI esempio O Riscrivi con un espressione del tipo y = f(x) ognuna delle seguenti funzioni e indica se è iniettiva e se è suriettiva: a. R R+ {0} a ogni numero reale corrisponde il suo valore assoluto; b. Z Z a ogni numero intero corrisponde il doppio aumentato di 1; c. R R a ogni numero reale corrisponde il suo quadrato; d. N N a ogni numero naturale corrisponde il suo quadrato; e. N {naturali quadrati perfetti} a ogni numero naturale corrisponde il suo quadrato. a. y = |x| con x R non è iniettiva (numeri opposti hanno lo stesso valore assoluto). suriettiva perché l immagine coincide con il codominio R+ {0}; b. y = 2x + 1 con x Z è iniettiva (dati due numeri interi diversi, i loro doppi aumentati di 1 sono diversi tra loro), non è suriettiva (l immagine è formata dai soli numeri interi dispari); c. y = x2 con x R non è iniettiva (numeri opposti hanno lo stesso quadrato), non è suriettiva (l immagine è formata dai soli reali non negativi); d. y = x2 con x N è iniettiva (dati due numeri naturali diversi anche i loro quadrati sono diversi tra loro), non è suriettiva (i numeri quadrati sono un sottoinsieme proprio di N); e. y = x2 con x N è iniettiva e, avendo limitato il codominio ai soli naturali quadrati perfetti, è anche suriettiva. Poiché il dominio delle funzioni reali è R, l insieme di definizione di una funzione sarà sempre un sottoinsieme di R: il sottoinsieme formato dagli elementi per i quali è applicabile la legge di corrispondenza. Se, per esempio, la variabile x compare a denominatore di una espressione frazionaria, non sarà possibile assegnarle un valore che annulli il denominatore: avremmo in tal caso una frazione con denominatore 0, il che non è possibile in R. L insieme di definizione della funzione dovrà allora escludere i valori che annullano il denominatore. Allo stesso modo, se la variabile x compare in un espressione posta sotto radice a indice pari, occorrerà stare attenti a che tale espressione non sia negativa: i valori che, sostituiti alla x, rendono l espressione negativa, devono essere esclusi dall insieme di definizione della funzione. Una delle prime caratteristiche da esaminare quando consideriamo una funzione è perciò il suo insieme di definizione, cioè il sottoinsieme di R in cui essa ha significato. 140