3 Funzioni ed equazioni di secondo grado La definizione di funzione ha, nella storia, percorso vari stadi di generalizzazione, fino a quella oggi comunemente utilizzata in matematica: la funzione come una particolare corrispondenza. Infatti, come già abbiamo visto, definiamo una funzione come una corrispondenza univoca tra due insiemi: a un qualsiasi elemento dell uno (il dominio) associa al massimo un elemento dell altro (il codominio). La definizione di funzione come modello matematico della dipendenza e la definizione di funzione come corrispondenza univoca sono due modi equivalenti di definire lo stesso oggetto. Se x indica una grandezza i cui valori variano in un insieme e y un altra grandezza i cui valori variano in dipendenza dei valori di x, assegnando un valore a x determiniamo in conseguenza il corrispondente valore di y. In modo analogo, possiamo considerare il caso in cui il valore di una grandezza variabile z dipende dai valori di altre due grandezze x e y. Diciamo in questo caso che la variabile z è funzione di x e di y e scriviamo z = f (x ; y): a ogni coppia ordinata di valori di x e y corrisponde un valore di z. Per esempio, una formula geometrica elementare, quale quella per il calcolo dell area di un trian1 golo, esprime l area a in funzione della base b e dell altezza h: a = __ bh. 2 Analogamente, quando nell interpretare un fenomeno fisico o economico, formuliamo una «legge in modo tale che il valore di una grandezza dipenda dai valori delle altre, modellizziamo il fenomeno con una funzione. La definizione di funzione può così essere estesa al caso di n variabili: diciamo che z è funzione delle n variabili x1, x2, ..., xn se a ogni n-esima ordinata di valori di x1, x2, x3, ..., xn corrisponde un solo valore di z. In questo caso scriviamo: z = f (x1, x2, ..., xn). Da qui in avanti considereremo funzioni in una variabile che hanno come dominio e codominio l insieme dei numeri reali. Definiamo funzione reale di una variabile reale una funzione di dominio e codominio R. Quando studiamo una funzione i due insiemi che realmente interessano sono l insieme di definizione e l immagine: il primo indica quali sono gli elementi del dominio effettivamente posti in corrispondenza, il secondo quali sono i loro corrispondenti nel codominio. Le funzioni possono presentare alcune caratteristiche a seconda dei valori assunti in base alla corrispondenza. Possono essere iniettive (cioè di tipo 1 1) e non iniettive (cioè di tipo molti 1). Una funzione è detta iniettiva se a elementi diversi dell insieme di definizione corrispondono elementi diversi dell immagine. Possono essere suriettive se tutti gli elementi del codominio corrispondono a qualche elemento dell insieme di definizione, oppure possono non esserlo se qualche elemento del codominio non appartiene all immagine. DEFINIZIONE Una funzione f da A a B è iniettiva se per ogni x, z A, x z f (x) f (z). Una funzione è detta suriettiva se l insieme immagine coincide con il codominio. KEYWORDS K fu funzione reale di variabile reale / real-valued function of real variable APPROFONDIMENTO A Di Dicendo che si tratta di una funzione di una variabile reale, precisiamo che la variabile indipendente x appartiene a R. Dicendo che si tratta di una funzione reale, precisiamo che anche la variabile dipendente deve appartenere a R. L insieme di definizione di una funzione reale è l insieme dei valori che, sostituiti alla x, consentono di calcolare il corrispondente valore di y. KEYWORDS K ini iniettiva / injective suriettiva / surjective Si dice suriettiva perché la sua immagine va, in un certo senso, sopra all intero codominio. 139