RELAZIONI E FUNZIONI L equazione di una curva trasformata Quando effettuiamo una trasformazione nel piano cartesiano, tutti i punti del piano cambiano le proprie coordinate in base alle equazioni della trasformazione stessa. Il sistema di riferimento, tuttavia, lo dobbiamo considerare come fisso per poter trovare espressioni algebriche che si riferiscano a un unico riferimento. In altre parole, gli assi cartesiani non vengono considerati coinvolti dalla trasformazione. ATTENZIONE! A S nel piano è definito un sistema di Se riferimento cartesiano, a ogni oggetto geometrico (punto, regione del piano, figura, retta, parabola, ...) corrisponde un oggetto algebrico (coppia di numeri reali, sistema di disequazioni, equazione, ...). Inoltre, a ogni trasformazione geometrica corrisponde un particolare sistema di formule algebriche: punto coppia di numeri reali retta equazione di primo grado in x e y semipiano disequazione di primo grado in x e y trasformazione sistema di formule del tipo: x = . . . x . . . {y = . . . y . . . esempio O stabilito un sistema di riferimento cartesiano nel piano. Quale oggetto algebrico indicato con 1, 2, 3, ... descrive analiticamente ognuno dei seguenti oggetti geometrici indicato con a, b, c, ...? a. un punto; 1. 2x y = 0 b. una retta; 2. ( 3 ; 1) c. una traslazione; 3. x = x ; y = y d. una simmetria; 4. x = x ; y = y + 5 Gli accoppiamenti corretti sono: a-2; b-1; c-4; d-3. Anche le curve del piano (rette e grafici qualunque) subiscono modifiche nella trasformazione e quindi cambiano le formule che le descrivono. però necessario fare attenzione: poiché consideriamo il riferimento cartesiano non coinvolto nella trasformazione, per determinare l equazione di una curva trasformata occorre considerare le formule della trasformazione inversa. Determiniamo come esempio l equazione della retta corrispondente alla retta di 1 equazione y = __x 2 nella traslazione di vettore v = ( 1 ; +3). Disegniamo nel 2 piano cartesiano la retta e poi trasliamo due suoi punti secondo il vettore v, ottenendo graficamente la retta corrispondente (in colore nel disegno). y v x Le equazioni di questa traslazione sono: x = x 1 {y = y + 3 Le equazioni della traslazione inversa, che forniscono le coordinate x, y in funzione di x , y , sono allora: x = x + 1 {y = y 3 Sostituiamo alle variabili x e y dell equazione della retta le corrispondenti espressioni in x e y : 1 1 3 y 3 = __ (x + 1) 2 y = __x + __ 2 2 2 136