3 Funzioni ed equazioni di secondo grado Le omotetie L omotetia realizza nel piano un ingrandimento o una riduzione e, quindi, non è in generale una isometria. Una omotetia di centro l origine O del sistema di riferimento e di rapporto k, numero reale diverso da 0, è descritta dalle seguenti equazioni: x = kx {y = ky Se |k| > 1 l omotetia realizza un ingrandimento; se invece |k| < 1 il risultato è una riduzione. Se k = 1 essa coincide con l identità, mentre se k = 1 coincide con la simmetria di centro l origine. 3 Per esempio, l omotetia di centro l origine e rapporto k = __ ha equazioni: 2 3 _ x = x 2 3 y = _ y 2 Essa fa corrispondere al triangolo di vertici A(1 ; 2), B( 2 ; 1), C(4 ; 0) quello 3 3 di vertici A (__ ; 3), B ( 3 ; __), C (6 ; 0), i cui lati risultano paralleli a quelli 2 2 del triangolo di partenza. y B x = k(x x C ) + x C { y = k(y y C ) + y C Se il centro coincide con l origine otteniamo le formule già note: x = kx {y = ky A A C B APPROFONDIMENTO A S il centro dell omotetia è un Se punto qualsiasi del piano cartesiano C (xC ; yC) e rapporto k 0, le formule che permettono di determinare le coordinate dei punti corrispondenti sono: C x FISSA I CONCETTI Omotetia di centro O e rapporto k R0: x = kx; y = ky Gli stiramenti Gli stiramenti sono trasformazioni nel piano che modificano le misure lineari e angolari delle figure e pertanto non sono isometrie. Tuttavia mantengono, come del resto tutte le trasformazioni qui considerate, l allineamento dei punti (sono cioè collineazioni) e il parallelismo: rette parallele rimangono cioè parallele. Uno stiramento lungo gli assi è la trasformazione che otteniamo moltiplicando le ascisse e le ordinate di ogni punto per due numeri diversi tra loro. Per esempio, le equazioni: x = 2x {y = 3y rappresentano uno stiramento ottenuto raddoppiando le ascisse e triplicando le ordinate. Applicato al parallelogramma di vertici A( 1 ; 1), B(2 ; 1), C(3 ; 2), D(0 ; 2), lo trasforma in un altro di vertici A ( 2 ; 3), B (4 ; 3), C (6 ; 6), D (0 ; 6). In generale, uno stiramento lungo gli assi che trasforma le ascisse secondo il rapporto a e le ordinate secondo il rapporto b (con a e b numeri reali diversi da 0) ha equazioni: x = ax {y = by con a, b R 0 y D C C D A A x B B FISSA I CONCETTI Stiramento lungo gli assi: x = ax; y = by (con a, b R 0 ) 135