3 Funzioni ed equazioni di secondo grado Possiamo verificare che tali coordinate si trovano applicando alle coordinate di ogni punto le formule: x = x 4 {y = y + 2 Questo sistema di formule (che è un sistema di equazioni nelle due incognite x e y descrive analiticamente (cioè con l uso di coordinate cartesiane) la traslazione di vettore v = ( 4 ; +2). FISSA I CONCETTI Traslazione di vettore v = (a ; b): x = x + a; y = y + b Le simmetrie assiali In una simmetria assiale a ogni punto P corrisponde un punto P nel semipiano opposto individuato dalla retta assegnata (l asse di simmetria) e alla stessa distanza da essa. Così, in figura, il triangolo A B C è il simmetrico di ABC nella simmetria di asse a. Anche le simmetrie assiali sono isometrie, ma, a differenza delle traslazioni, modificano l orientamento dei punti del piano: mentre i punti ABC sono orientati in verso antiorario, i punti A B C sono orientati in verso orario. A A B Le simmetrie assiali sono descritte analiticamente da equazioni diverse, a seconda del particolare asse di simmetria; ricordiamo in particolare le equazioni delle simmetrie rispetto agli assi cartesiani e alle bisettrici dei quadranti: x = x Simmetria rispetto all asse x: { y = y x = x Simmetria rispetto all asse y: { y = y Simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante: x = y {y = x x = y Simmetria rispetto alla bisettrice del II e IV quadrante: {y = x possibile effettuare la simmetria anche rispetto a una retta parallela agli assi cartesiani; riportiamo le equazioni delle trasformazioni la cui dimostrazione è inserita negli Approfondimenti online. x = x Simmetria rispetto alla retta y = k: { y = 2k y a Approfondisci La simmetria con assi paralleli agli assi cartesiani y A C Per esempio, se consideriamo la simmetria rispetto alla retta x = 2, parallela all asse delle ordinate, al triangolo ABC, i cui vertici hanno coordinate A(3 ; 1), B(2 ; 3), C(4 ; 2), corrisponde, come è evidente nella figura a lato il triangolo A B C i cui vertici hanno rispettive coordinate A (1 ; 1), B (2 ; 3), C (0 ; 2). Come puoi osservare le coordinate dei vertici del triangolo trasformato si ottengono da quelle dei rispettivi vertici del triangolo ABC, applicando le formule della simmetria rispetto alla retta x = k (in questo caso k = 2): x = 2 2 2 = 2 B { y = 3 B x=2 A x x = 2k x Simmetria rispetto alla retta x = k: {y = y x = 2 2 3 = 1 A { y = 1 C C x = 2 2 4 = 0 C { y = 2 C B B FISSA I CONCETTI Simmetria assiale: rispetto asse x: x = x; y = y rispetto asse y: x = x; y = y rispetto bisettrice I-III: x = y; y = x rispetto bisettrice II-IV: x = y; y = x 133