2 ESERCIZI I numeri reali PER ESERCITARSI CON GRADUALIT esercizio svolto Dimostra che l insieme dei numeri naturali che terminano con la cifra 3 è numerabile. possibile elencare ordinatamente i suoi elementi? A è formato da numeri naturali e quindi A N e pertanto è numerabile. Sì, è possibile elencare ordinatamente i suoi elementi come indicato: A = {3, 13, 23, , 3233, }. 124 Dimostra che l insieme dei numeri naturali che terminano con la cifra 6 è numerabile. possibile elencare ordinatamente i suoi elementi? 125 L insieme X = {x N | x = 10n e n N} è numerabile? Perché? possibile elencare ordinatamente i suoi elementi? 126 L insieme dei numeri razionali esprimibili con frazioni decimali (aventi cioè come denominatore una potenza di 10) è finito o infinito? numerabile? possibile elencare ordinatamente i suoi elementi? 127 Dimostra che l insieme delle stringhe (di lunghezza qualsiasi) formate di 0 e di 1 è numerabile. Come enume- rare (elencare) i suoi elementi? 128 Dati tre simboli (o tre lettere) considera l insieme K di tutte le stringhe (di lunghezza qualsiasi) che è possibi- le formare con essi, ovviamente anche ripetendoli. L insieme K è numerabile. Perché? Come è possibile enumerare (elencare) i suoi elementi? 129 Con le lettere dell alfabeto latino si possono costruire infinite parole di lunghezza finita. L insieme delle paro- le costruibili è numerabile? discreto? Come può essere fornito un suo elenco? 130 Nell insieme N è stabilito il seguente ordinamento: dati a, b N con a b se a e b sono entrambi pari o entrambi dispari, allora a precede b se a < b Q se a è pari e b è dispari, allora a precede b. Gli elementi di N possono essere enumerati (elencati) in questo ordinamento? Perché? Q __ 131 L insieme R = { n, n N} è numerabile? discreto? Può essere fornito un suo elenco? 132 Ordiniamo l insieme delle frazioni mettendo prima quelle con denominatore 1, poi quelle con denominatore 2, poi ancora quelle con denominatore 3 ecc. L insieme così ordinato è numerabile? Come puoi stabilire una disposizione delle frazioni in modo tale da poterle enumerare? Nei seguenti esercizi è indicata una funzione da N (o da un suo sottoinsieme) a un insieme A. Scrivi alcuni elementi di A e spiega perché si tratta di un insieme infinito, numerabile, totalmente ordinato e discreto. esercizio svolto n 3n 1 Assegnando a n i valori 0, 1, 2, 3, 4 si ottengono i primi cinque elementi dell insieme, che indichiamo con A = {0, 2, 8, 26, 80, ...}. L insieme A è infinito in quanto è formato dai corrispondenti degli infiniti valori di N. A è anche numerabile perché è un sottoinsieme di N, anch esso numerabile. totalmente ordinato perché ha lo stesso ordinamento di N ed è discreto perché è sottoinsieme di N. 133 n 3n 3 [ 3, 0, 3, 6, 9, ] n 2 134 n __ 1 _1_ _1_ [ 1, 2 , 0, 2 , 1, ] 127