2 I numeri reali TEOREMA (non numerabilità di un intervallo reale) Approfondisci L insieme dei numeri reali compresi tra 0 e 1 non è numerabile. Dimostrazione del teorema (non numerabilità di un intervallo reale) L insieme R, poiché contiene un sottoinsieme che ha cardinalità maggiore del numerabile, ha cardinalità maggiore del numerabile. , quindi, un insieme infinito più numeroso di N, di Z, di Q. La sua cardinalità è detta cardinalità del continuo. Poiché abbiamo stabilito una corrispondenza biunivoca tra R e la retta, anche la retta ha la cardinalità del continuo. esempio KEYWORDS K c cardinalità del continuo / cardinality of the continuum O Mostra che l insieme dei numeri irrazionali ha cardinalità maggiore del numerabile. Se l insieme dei numeri irrazionali fosse numerabile, potremmo indicare i suoi elementi come i0, i1, i2, i3, ... Poiché l insieme Q è numerabile, è possibile indicare i suoi elementi come q0, q1, q2, q3, L insieme R è unione di questi due insiemi. Potremmo allora indicare i suoi elementi in questo modo: i0, q0, i1, q1, i2, q2, L insieme R sarebbe in corrispondenza biunivoca con l insieme N e sarebbe numerabile. Sappiamo che ciò non è vero (teorema sulla non numerabilità di un intervallo reale). Quindi, necessariamente, l insieme dei numeri irrazionali non è numerabile. Gli insiemi infiniti non sono, quindi, tutti infiniti allo stesso modo; possiamo distinguerli in almeno due categorie: Q insiemi infiniti con la cardinalità del numerabile (i numeri naturali, gli interi, i razionali e tutti i loro sottoinsiemi infiniti); Q insiemi infiniti con la cardinalità del continuo (i numeri reali, i numeri irrazionali, i punti della retta). FISSA I CONCETTI Q Q R ha cardinalità maggiore del numerabile: #R > #N. R ha la cardinalità del continuo. Le caratteristiche dell insieme R L insieme R dei numeri reali è il più ampio insieme numerico fin qui costruito. costruito a partire dall insieme Q e ne costituisce un ampliamento. Data l importanza di R nella costruzione matematica, ne riassumiamo e precisiamo, in questo paragrafo, le caratteristiche. a. Quanti elementi ha R? L insieme R è infinito. Non può essere messo in corrispondenza biunivoca con N, ma possiede sottoinsiemi che sono in corrispondenza biunivoca con N. La sua cardinalità è quindi maggiore della cardinalità del numerabile (l abbiamo chiamata cardinalità del continuo). b. Come sono disposti gli elementi di R? L insieme R è un insieme totalmente ordinato, secondo l ordinamento naturale sulla retta. Non esiste alcun ordinamento di R in cui possa essere reso discreto. I suoi elementi sono disposti sulla retta in modo continuo. 113