ALGEBRA Tra le frazioni non negative consideriamo ora soltanto quelle ridotte ai minimi termini. Queste ne sono un sottoinsieme infinito e quindi, per il teorema del sottoinsieme infinito di un insieme numerabile, costituiscono anch esse un insieme numerabile. Con un analogo ragionamento possiamo dimostare che anche l insieme delle frazioni negative ridotte ai minimi termini è un insieme numerabile. Per il teorema dell unione di insiemi numerabili, allora, l insieme di tutte le frazioni ridotte ai minimi termini (negative, nulle o positive) è un insieme infinito numerabile. Poiché ognuna di queste frazioni è il rappresentante di una classe di equivalenza, cioè di un numero razionale, l insieme Q dei numeri razionali è un insieme numerabile. c.v.d. La scoperta che l insieme Q è numerabile e, quindi, ha tanti elementi quanti ne ha N è dovuta al matematico tedesco Georg Cantor e può destare un certo stupore: disposti sulla retta, i numeri razionali, infinitamente vicini tra loro, sembrano di più. Ma in realtà ciò che differenzia N da Q non è il numero dei loro elementi, ma il modo in cui essi sono disposti nell ordinamento naturale: discreti i primi, densi i secondi. D altra parte, poiché Q è numerabile, i suoi elementi possono essere riordinati in modo tale da risultare discreti. Per esempio, nell ordinamento diagonale delle frazioni considerato nella dimostrazione del teorema precedente, si vede come sia possibile rendere discreto l insieme dei numeri razionali. I protagonisti della matematica FISSA I CONCETTI Z è numerabile. Q è numerabile. Georg Cantor (1845-1918) è stato uno dei matematici più acuti del XIX secolo, le cui idee, spesso contrastate all inizio, hanno rivoluzionato concezioni tradizionali della matematica e della logica. Cantor ha ricondotto l idea di numero cardinale (numero degli oggetti di un insieme) a quella di corrispondenza e ha così confrontato gli insiemi tra loro in base alla loro cardinalità. A Cantor si deve la definizione di insieme infinito come insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio: ha la stessa cardinalità di un suo sottoinsieme. L insieme R non è numerabile Il modello privilegiato degli insiemi infiniti discreti è l insieme dei numeri naturali N; il modello privilegiato degli insiemi infiniti continui è invece la retta oppure, per la corrispondenza biunivoca stabilita, l insieme dei numeri reali R. Ci chiediamo ora se l infinità dei numeri reali R è più numerosa di quella dei numeri naturali, cioè se R, a differenza di N, Z, Q che sono numerabili, ha cardinalità maggiore di N. Osserviamo innanzitutto che un insieme numerabile K non può avere un sottoinsieme S di cardinalità maggiore del numerabile: infatti ogni sottoinsieme di un insieme numerabile o è finito o è anch esso numerabile. Consideriamo ora il sottoinsieme infinito di R formato dai numeri reali compresi tra 0 e 1. Il teorema seguente stabilisce che tale sottoinsieme non è numerabile. 112