2 I numeri reali TEOREMA L insieme Q è numerabile. Dimostrazione Consideriamo dapprima soltanto l insieme delle frazioni non negative. Costruiamo una tabella delle frazioni non negative, infinita verso destra e verso il basso, in questo modo: Q nella prima riga disponiamo l insieme (ordinato) delle frazioni di denominatore 1; Q nella seconda riga disponiamo l insieme (ordinato) delle frazioni di denominatore 2; Q nella terza quelle di denominatore 3; Q ... 0/1 1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 0/2 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 0/3 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 0/4 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 0/5 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 Sulla tabella è possibile stabilire un percorso che consente di elencare tutti i suoi elementi e di contarli: 0/1 1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 0/2 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 0/3 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 0/4 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 0/5 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 Si evidenzia così la corrispondenza biunivoca con N: 0/1 0 0/2 1 1/1 2 2/1 3 1/2 4 0/3 5 ... ... L insieme delle frazioni non negative è in corrispondenza biunivoca con N: è un insieme infinito numerabile. ATTENZIONE! A N Nella prima riga della tabella ci sono frazioni che indicano numeri naturali: la prima riga è in corrispondenza biunivoca con N. Anche l intera tabella è in corrispondenza biunivoca con N: quindi, l intera tabella è in corrispondenza biunivoca con la sua prima riga: ritroviamo così un insieme che, essendo infinito, può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. 111