ALGEBRA Gli insiemi Z e Q sono numerabili Dimostriamo qui che sia l insieme Z dei numeri interi relativi, sia l insieme Q dei numeri razionali hanno la stessa cardinalità di N: sono perciò entrambi numerabili. TEOREMA L insieme Z è numerabile. Dimostrazione Stabiliamo questa corrispondenza biunivoca tra N e Z: a ogni numero naturale pari corrisponde la sua metà, con il segno positivo; a ogni numero naturale dispari corrisponde la metà del suo successivo, con il segno negativo. x = +_ se x N è pari 2 x+1 y = _ altrimenti 2 y In entrambi i casi y Z. Puoi osservare in questi esempi come agisce la corrispondenza: 0 0 1 1 2 +1 3 2 4 +2 ... Nella rappresentazione sulla retta, N si dispone lungo una semiretta e Z lungo la retta. N Z 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 La corrispondenza stabilita riorganizza gli elementi di Z, secondo il percorso qui indicato a partire dall elemento iniziale 0. 3 2 1 0 +1 +2 +3 +4 +5 Essendo stati posti N e Z in corrispondenza biunivoca, risulta Z numerabile. La corrispondenza è biunivoca perché a ogni numero naturale corrisponde un intero (relativo) e, viceversa, ogni numero intero (relativo) k è il corrispondente di un numero naturale (che è 2k se k è maggiore o uguale a 0 ed è 2k 1 se k è minore di 0). c.v.d. 110