2 I numeri reali O Mostra che il sottoinsieme S di N formato dai naturali che terminano con 0 è numerabile. Per stabilire che S è numerabile definiamo la seguente corrispondenza biu0 1 2 3 4 5 nivoca tra S e N: Q a ogni n N corrisponde 10 n S; x Q a ogni x S corrisponde ___ N. 0 10 20 30 40 50 10 Possiamo analogamente mostrare che ha la stessa cardinalità di N anche il sottoinsieme formato dai numeri che terminano con 00 oppure con 000 e così via. anche numerabile ogni altro sottoinsieme di N formato dai numeri che terminano con una qualunque altra cifra (o con un qualunque altro gruppo finito di cifre). Quanto mostrato nel precedente esempio può essere anche ricavato come conseguenza del seguente teorema, che assicura che l infinito numerabile è il più piccolo infinito possibile. TEOREMA (sottoinsieme infinito di insieme numerabile) Un sottoinsieme infinito di un insieme numerabile è anch esso numerabile. Dimostrazione Se un insieme infinito è numerabile, allora esiste una legge di corrispondenza biunivoca con N che permette di elencare così i suoi elementi: a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 ... Tra essi ci sono gli elementi del sottoinsieme: supponiamo che siano, per esempio, quelli sottolineati. 0 1 2 Essi, allora, possono essere estratti e formano un nuovo elenco che, poiché è infinito, permette di stabilire una cora2 a5 a6 rispondenza biunivoca con N. c.v.d. Un sottoinsieme infinito di N è, quindi, sempre numerabile. Un altro teorema sugli insiemi numerabili è il seguente con dimostrazione online. Approfondisci TEOREMA (unione di insiemi numerabili) Dimostrazione del teorema (unione di insiemi numerabili) L unione di due insiemi numerabili è un insieme numerabile. esempio O Un cinema ha un infinità numerabile di posti a sedere e, dieci minuti prima che inizi lo spettacolo, tutti i posti sono occupati. Ma vi è un altra infinità numerabile di persone che hanno già pagato il biglietto e premono per voler entrare e sistemarsi sedute. possibile risolvere il problema? Come? Q possibile. sufficiente (se i posti sono numerati con numeri naturali) che ogni spettatore già seduto al posto n si vada a sedere al posto 2n. Tutti i posti con numero dispari saranno così lasciati liberi. Poiché l insieme dei dispari è numerabile, in essi si potranno sedere gli infiniti spettatori che premono per entrare. Q FISSA I CONCETTI Q Q Il precedente esempio è un famoso paradosso dell infinito. Le proprietà degli insiemi infiniti (come quella che l unione di due insiemi numerabili è ancora un insieme numerabile) risultano paradossali se applicate a problemi che richiamano situazioni concrete, nelle quali non abbiamo mai a che fare con insiemi infiniti. Cardinalità di un insieme A: numero dei suoi elementi (#A). Un insieme è infinito se può essere posto in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. Un insieme è numerabile se ha la stessa cardinalità di N, cioè se può essere messo in corrispondenza biunivoca con N. Teoremi Ogni sottoinsieme infinito di un insieme numerabile è numerabile. L unione di due insiemi numerabili è numerabile. 109