ALGEBRA ATTENZIONE! A A Avere la stessa cardinalità è una relazione di equivalenza. Ogni classe di equivalenza è formata da insiemi tra i quali è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca. Nel caso di insiemi finiti, ogni classe individua un numero naturale (il numero di elementi comune a tutti gli insiemi della classe). Nel caso di insiemi infiniti, ogni classe individua la cardinalità caratteristica degli elementi che le appartengono. Anche tra N e altri suoi sottoinsiemi propri e infiniti è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca. Galileo Galilei osservò, per esempio, che è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra N e l insieme K dei numeri quadrati perfetti: 1, 4, 9, 16, 25, ... La corrispondenza biunivoca è così definita: a ogni numero naturale associamo il suo quadrato e, viceversa, a ogni numero quadrato perfetto è associata la sua radice quadrata non negativa: 0 1 2 3 4 5 6 0 1 4 9 16 25 36 I due insiemi N e K hanno, quindi, la stessa cardinalità, cioè N ha tanti elementi quanti ne ha K. Eppure, K è un sottoinsieme proprio di N. Questo fatto appare paradossale perché viene meno il principio che «il tutto è sempre maggiore della parte , principio valido per gli insiemi finiti e che, sulla base della nostra esperienza finita, siamo portati a estendere anche al caso infinito. La possibilità di avere tanti elementi quanti quelli di un proprio sottoinsieme è una caratteristica dei soli insiemi infiniti e infatti è assunta come loro definizione. DEFINIZIONE Un insieme è infinito se può essere posto in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. esempi O Dimostra che l insieme D dei numeri naturali dispari è un insieme infinito e numerabile. APPROFONDIMENTO A L i L insieme P dei numeri naturali pari e l insieme D dei numeri naturali dispari sono numerabili. Entrambi sono sottoinsiemi propri di N e inoltre N = P D. L unione di due insiemi numerabili è un insieme anch esso numerabile. Per dimostrare che è infinito è sufficiente dimostrare che è numerabile, perché essere numerabile vuol dire poter essere posto in corrispondenza biunivoca con l insieme N che è infinito. In effetti possiamo definire la seguente corrispondenza biunivoca tra D e N: Q a ogni n N corrisponde 2n + 1 D; x 1 Q a ogni x D corrisponde _____ N. 2 0 1 2 3 4 5 6 1 3 5 7 9 11 13 I protagonisti della matematica Galileo Galilei (1564-1642) è stato fisico, matematico e astronomo italiano. Per la vastità di interessi e per l influenza che le sue teorie hanno avuto, è considerato uno dei più grandi scienziati di tutti i tempi e fondatore della scienza moderna. Celebre è il suo pensiero sulla matematica. Ne Il Saggiatore scrive: «...la filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l universo), ma non si può intendere se prima non s impara a intender la lingua e conoscer i caratteri, ne quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto. 108