ALGEBRA c. Quali caratteristiche algebriche ha R? Possiamo operare in R utilizzando un intuitiva estensione delle operazioni introdotte in Q. In questo modo consideriamo l addizione e la moltiplicazione tra numeri reali, le loro proprietà e le loro operazioni inverse. d. Quali proprietà ha in più R rispetto a Q? Innanzitutto, R è completo nel senso che, essendo in corrispondenza biunivoca con la retta ed essendo come essa continuo, non può costruirsi nessun altro insieme numerico, più ampio di R, che si possa rappresentare sulla retta. In secondo luogo, l insieme dei numeri reali permette di risolvere equazioni di grado superiore al primo, o di altro tipo, che non trovano soluzioni in Q. Per esempio,__ l equazione x2 =__2 non ha soluzioni in Q, mentre ne ha due in R: x1 = 2 x2 = + 2 Va osservato, tuttavia, che l insieme dei numeri reali R non è sufficiente per risolvere una qualsiasi equazione. Per esempio, l equazione x2 = 1 non ha soluzione in R perché nessun numero reale, elevato al quadrato, risulta negativo. Per risolvere equazioni di questo tipo l insieme R dovrà essere ampliato per costruire un nuovo insieme numerico che studierai più avanti e che è detto insieme dei numeri complessi C. FISSA I CONCETTI L insieme R è composto dai numeri razionali e dai numeri irrazionali. L insieme R è infinito e continuo. L insieme R è in corrispondenza biunivoca con la retta: a ogni numero reale corrisponde un punto della retta e viceversa, Nell insieme R sono definite le usuali operazioni. 114 Q N Z I R C