2 I numeri reali Possiamo ancora raffinare la suddivisione della retta, suddividendo il precedente intervallo in 10 parti (cioè l intervallo intero in 100 parti). Il numero x appartiene a uno di questi dieci intervalli (a2 rappresenta la cifra dei centesimi): 1 a0,a1a2 x < a0,a1a2 + ____ 100 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 Per esempio, ingrandendo la situazione precedente: 1,41 x < 1,42 x La suddivisione può andare avanti finché vogliamo. Se ci fermiamo alla n-esima suddivisione dell intervallo intero di partenza, otteniamo che x appartiene a un intervallo delimitato da due numeri scritti con n cifre decimali: 1 a0,a1a2a3 an x < a0,a1a2a3 an + ___n 10 __ Per esempio, 2 alla quinta suddivisione risulta: __ 1,41421 2 < 1,41422 I due estremi dell intervallo vengono chiamati rispettivamente approssimazione per difetto e approssimazione per eccesso alla n-esima cifra decimale del numero 1 reale dato e la differenza tra le due approssimazioni è, ogni volta, uguale a ___n . 10 Supponiamo allora di proseguire la suddivisione all infinito. Poiché al crescere 1 di n, la quantità ___n si avvicina sempre più a 0, possiamo affermare che è sempre 10 possibile trovare un numero n così grande da rendere le due approssimazioni vicine quanto vogliamo. Con altre parole, possiamo dire che al tendere di n all infinito, le due approssimazioni scritte con infinite cifre decimali coincidono. Un numero reale x, quindi, è rappresentato da una stringa di cifre decimali, con infinite cifre dopo la virgola decimale. esempi __ O Calcola alcune approssimazioni per difetto e per eccesso del numero 3, fino alla terza cifra decimale. __ Poiché 12 = 1 e 22 = 4, abbiamo intanto: 1 < 3 < 2 Poiché 1,72__= 2,89 e 1,82 = 3,24, abbiamo alla prima cifra decimale: 1,7 3 < 1,8 Poiché 1,732 = 2,9929 e 1,742 = 3,0276, otteniamo alla seconda cifra decimale: __ 1,73 3 < 1,74 Poiché 1,7322 = 2,999824 e 1,7332 = 3,003289, abbiamo alla terza cifra decimale: __ 1,732 3 < 1,733 1 La differenza tra le due approssimazioni è di _____. 1000 105