ALGEBRA L identificazione tra numeri reali e punti della retta rende comunque più semplice tale ridefinizione. Per esempio, stabilito un riferimento sulla retta, diremo che il numero reale (A1, A2) è minore del numero reale (B1, B2) se, sulla retta, il punto A corrispondente al primo numero precede il punto B corrispondente al secondo numero: A A1 A2 B B1 FISSA I CONCETTI Un numero reale è una partizione di Q in due classi in cui ogni elemento della prima è minore di ogni elemento della seconda. R è un insieme con ordinamento continuo. B2 esempio O Nell insieme Q definiamo la seguente partizione: A = {x Q x rapporto tra circonferenza e relativo diametro} B = {x Q x > rapporto tra circonferenza e relativo diametro} In Q non esiste l elemento separatore tra le due classi. Le due classi definiscono in R il numero irrazionale . La rappresentazione dei numeri reali come stringhe decimali Ora che abbiamo definito rigorosamente i numeri reali, costruendoli a partire da Q, possiamo giustificare quanto già sai: ogni numero reale può essere espresso in forma decimale, con una stringa di cifre decimali che, alla destra della virgola decimale, sono in numero infinito. Per semplicità d esposizione, ci limitiamo qui a spiegare la rappresentazione in forma decimale dei soli numeri reali positivi. Essa è tuttavia facilmente generalizzabile anche ai numeri reali negativi. Sia, quindi, x un qualunque numero reale positivo. Stabilito un riferimento sulla retta, esso si troverà in un intervallo delimitato da due numeri naturali (che possono anche coincidere con uno dei due estremi): a0 x < a0 + 1 __ Per esempio, supponendo x = 2, abbiamo: 1 x < 2 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x Possiamo raffinare la suddivisione della retta, suddividendo il precedente intervallo in 10 parti. Il numero x apparterrà allora a uno di questi dieci intervalli. Indichiamo con a1 la prima cifra decimale: 1 a0,a1 x < a0,a1 + ___ 10 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 Per esempio, ingrandendo la situazione precedente: 1,4 x < 1,5 x 104