2 I numeri reali La definizione di numero reale Abbiamo dimostrato che l insieme Q non è continuo. Possiamo pensare di completare l insieme Q ammettendo che per ogni partizione possibile dell insieme (per ogni taglio) esista sempre l elemento separatore, interno a Q o fuori di esso. questo ciò che viene definito come numero reale. KEYWORDS K nnumero reale / real number Più precisamente, l insieme R dei numeri reali viene costruito a partire dall insieme dei numeri razionali Q considerando tutte le possibili partizioni di Q in due classi (in cui ogni elemento della prima è minore di ogni elemento della seconda). Ogni partizione in due classi (A, B) di questo tipo definisce un numero reale. DEFINIZIONE Un numero reale è una partizione dell insieme Q in due classi (A, B) in cui ogni elemento della prima è minore di ogni elemento della seconda. L insieme dei numeri reali R è l insieme delle partizioni di Q in classi di questo tipo. possibile avere due casi: Q la partizione (A, B) individua un elemento di Q (elemento separatore delle due classi) e allora è un numero razionale; Q la partizione (A, B) individua un buco, una lacuna, dell insieme Q (le due classi non hanno in Q elemento separatore) e allora è un numero irrazionale. Così definito, R ha la proprietà di avere l elemento separatore per ogni sua partizione: l insieme dei numeri reali R è un insieme continuo ed è in corrispondenza biunivoca con l insieme dei punti della retta. La corrispondenza è stabilita ogni volta che sulla retta è definito un sistema di riferimento. La retta e l insieme dei numeri reali R hanno le stesse caratteristiche; sono i due modelli privilegiati di un insieme lineare continuo. Potremo d ora in poi non distinguere tra retta e R, cioè tra modello geometrico (la retta) e modello algebrico (l insieme R): parleremo così di retta reale e spesso il termine punto di una retta e numero reale saranno trattati come sinonimi. ATTENZIONE! A certamente poco intuitivo, e forse piuttosto strano, definire un numero (cioè un oggetto singolo) come una coppia di classi di altri numeri. Tuttavia, questa definizione soddisfa le due caratteristiche che deve avere R: Q deve essere un insieme numerico costruibile a partire dagli altri già noti; Q deve essere un insieme continuo, in corrispondenza biunivoca con l insieme dei punti della retta. Il numero reale definito quindi come sezione, come una coppia di classi, è, in un certo senso, l elemento astratto che le unisce e le fa appunto considerare non individualmente, ma come coppia. L insieme dei numeri reali R è un insieme numerico con cui sei abituato a ope__ rare: già i primi incontri con alcuni particolari numeri non razionali, quali 2 o , hanno, infatti, portato ad ampliare l insieme Q e a considerare un insieme numerico, quello dei numeri reali, che comprende sia i razionali sia gli irrazionali. In tale insieme abbiamo considerato relazioni, operazioni e abbiamo risolto equazioni. Tuttavia, solo ora ne abbiamo dato una definizione rigorosa. Il procedimento seguito è quello tipico della costruzione matematica: viene definito rigorosamente, in generale con assiomi, un «oggetto elementare e da esso se ne ricavano altri più complessi. A partire dalla definizione dell insieme N dei numeri naturali, è stato costruito l insieme Z degli interi, poi l insieme Q dei razionali e, infine, l insieme R dei reali, come insieme delle partizioni di Q in classi contigue. A partire dalla definizione di numero reale come partizione, dovremmo ridefinire relazioni e operazioni in R. Ogni operazione dovrebbe essere definita come operazione tra coppie di classi di numeri razionali: il lavoro è possibile, ma laborioso, lo rimandiamo a studi superiori. 103