ALGEBRA 7 O Calcola le successive approssimazioni del numero reale __. 5 7_ _ In questo caso, poiché è un numero decimale di periodo zero, arriviamo 5 rapidamente a una suddivisione in cui il numero coincide con uno degli estremi della suddivisione stessa. Infatti, otteniamo: 7 1 __ < 2 5 7 1,4 = __ < 1,5 5 7 In questo caso, proseguendo la suddivisione, otteniamo che __ può essere 5 scritto come: 1,40 oppure 1,400 o 1,4000 e così via. 8 O Calcola le approssimazioni per difetto e per eccesso del numero reale __, fino 3 alla quarta cifra decimale. Abbiamo successivamente: 8 2 __ < 3 3 8 2,6 __ < 2,7 3 8 2,66 __ < 2,67 3 8 2,666 __ < 2,667 3 8 2,6666 __ < 2,6667 3 Queste ultime due sono le approssimazioni cercate. Proseguendo all infinito la procedura, otteniamo due classi che ripartiscono l insieme Q. 8 Il numero __ appartiene alla classe A: è il suo massimo. 3 8 Infatti, __ è un numero razionale. 3 FISSA I CONCETTI Ogni numero reale può essere rappresentato con una stringa di cifre decimali, con infinite cifre dopo la virgola decimale. Se queste cifre sono 0 da un certo punto in poi, il numero è un decimale finito, se invece un gruppo di cifre si ripete uguale, allora è periodico (di periodo diverso da 0): in questi due casi si tratta di un numero razionale. Altrimenti è un numero irrazionale. 106 Dai tre esempi appena visti concludiamo che nella costruzione decimale dei numeri possono verificarsi tre casi: Q la costruzione continua all infinito e il numero non appartiene a nessuna delle due classi (primo esempio): è un numero irrazionale; Q il numero coincide da un certo punto in poi con uno degli estremi della suddivisione (secondo esempio): è un numero razionale di periodo zero (un decimale finito); Q la costruzione continua all infinito, ma il numero appartiene a una delle due classi (terzo esempio): è un numero razionale di periodo diverso da zero.